Які будуть координати точок А(-2;1), В(3;0) та D(0; -6) після гомотетії з масштабним коефіцієнтом: а) k = 2; б) k

Shmel

29

Добро пожаловать! Для решения этой задачи по гомотетии с различными масштабными коэффициентами, нам понадобятся знания о том, как изменяются координаты точек при гомотетии относительно заданного центра.

Пусть \((x, y)\) - исходные координаты точки до гомотетии, а \((x", y")\) - координаты после гомотетии с масштабным коэффициентом \(k\). Тогда, используя свойство гомотетии, мы можем записать следующие соотношения:
\[x" = k \cdot x,\]
\[y" = k \cdot y.\]

а) При \(k = 2\) координаты точки А(-2;1) после гомотетии будут:
\[x" = 2 \cdot (-2) = -4,\]
\[y" = 2 \cdot 1 = 2.\]
То есть, точка А(-2;1) при гомотетии с \(k = 2\) станет точкой А"(-4;2).

Аналогично, для точек В(3;0) и D(0;-6) при \(k = 2\) получим следующие новые координаты:
Для точки В: \(x" = 2 \cdot 3 = 6\) и \(y" = 2 \cdot 0 = 0\), т.е. В(3;0) станет В"(6;0).
Для точки D: \(x" = 2 \cdot 0 = 0\) и \(y" = 2 \cdot (-6) = -12\), т.е. D(0;-6) станет D"(0;-12).

б) При \(k = 3\) координаты точек А, В и D после гомотетии будут:
Для точки А: \(x" = 3 \cdot (-2) = -6\) и \(y" = 3 \cdot 1 = 3\), т.е. А(-2;1) станет А"(-6;3).
Для точки В: \(x" = 3 \cdot 3 = 9\) и \(y" = 3 \cdot 0 = 0\), т.е. В(3;0) станет В"(9;0).
Для точки D: \(x" = 3 \cdot 0 = 0\) и \(y" = 3 \cdot (-6) = -18\), т.е. D(0;-6) станет D"(0;-18).

в) При \(k = -1/2\) координаты точек А, В и D после гомотетии будут:
Для точки А: \(x" = -1/2 \cdot (-2) = 1\) и \(y" = -1/2 \cdot 1 = -1/2\), т.е. А(-2;1) станет А"(1;-1/2).
Для точки В: \(x" = -1/2 \cdot 3 = -3/2\) и \(y" = -1/2 \cdot 0 = 0\), т.е. В(3;0) станет В"(-3/2;0).
Для точки D: \(x" = -1/2 \cdot 0 = 0\) и \(y" = -1/2 \cdot (-6) = 3\), т.е. D(0;-6) станет D"(0;3).

г) При \(k = -1/3\) координаты точек А, В и D после гомотетии будут:
Для точки А: \(x" = -1/3 \cdot (-2) = 2/3\) и \(y" = -1/3 \cdot 1 = -1/3\), т.е. А(-2;1) станет А"(2/3;-1/3).
Для точки В: \(x" = -1/3 \cdot 3 = -1\) и \(y" = -1/3 \cdot 0 = 0\), т.е. В(3;0) станет В"(-1;0).
Для точки D: \(x" = -1/3 \cdot 0 = 0\) и \(y" = -1/3 \cdot (-6) = 2\), т.е. D(0;-6) станет D"(0;2).

Таким образом, после гомотетии от центра О(0;0) с различными масштабными коэффициентами, координаты точек А, В и D изменятся следующим образом:
а) для \(k = 2\): А"(-4;2), В"(6;0), D"(0;-12);
б) для \(k = 3\): А"(-6;3), В"(9;0), D"(0;-18);
в) для \(k = -1/2\): А"(1;-1/2), В"(-3/2;0), D"(0;3);
г) для \(k = -1/3\): А"(2/3;-1/3), В"(-1;0), D"(0;2).

Надеюсь, это решение помогло вам лучше понять гомотетию и изменение координат точек при применении этой трансформации.