Які є довжини катетів та другого гострого кута прямокутного трикутника, якщо гіпотенуза має довжину 14 см та перший

Муравей

7

Добрый день! Для решения данной задачи вам потребуется использовать тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике.

В прямоугольном треугольнике гипотенуза (г) является наибольшей стороной, а катеты (a и b) – это остальные две стороны, образующие прямой угол.

Мы можем использовать теорему косинусов для нахождения длины катетов и второго гострого угла. Формула теоремы косинусов имеет вид:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(\gamma)\]
где \(c\) - длина гипотенузы, \(a\) и \(b\) - длины катетов, \(\gamma\) - второй гострый угол.

В нашем случае, известно, что гипотенуза (\(c\)) равна 14 см, а первый гострый угол (\(\alpha\)) равен 43°.

Мы можем найти значение второго гострого угла (\(\beta\)) с использованием формулы:
\[\beta = 90° - \alpha\]

Теперь мы можем использовать формулу теоремы косинусов для нахождения длины катетов. В нашем случае:
\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(\beta)\]

Используя тригонометрические соотношения и подставляя известные значения:
\[\cos(\beta) = \cos(90° - 43°) = \cos(47°)\]

Мы можем получить выражение для нахождения длины катетов:
\[14^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(47°)\]

Теперь мы можем начать вычисления. Сначала найдем значение \(\cos(47°)\), округлив его до четырех десятичных знаков (сотых):
\[\cos(47°) \approx 0.6820\]

Подставим это значение в формулу:
\[14^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot 0.6820\]

Теперь нам нужно решить уравнение относительно \(a\) и \(b\). Решение данного уравнения будет зависеть от взаимосвязи между \(a\) и \(b\).

Если мы предположим, что \(a = b\), то получим:
\[14^2 = 2a^2 - 2a^2 \cdot 0.6820\]

Раскроем скобки и упростим выражение:
\[196 = 2a^2 - 1.364a^2\]
\[0.364a^2 = 196\]
\[a^2 = \frac{196}{0.364}\]

Теперь найдем значение \(a\) и \(b\) по полученной формуле:
\[a \approx \sqrt{\frac{196}{0.364}}\]
\[b \approx \sqrt{\frac{196}{0.364}}\]

После выполнения математических вычислений, округлите значения длины катетов до сотых.

Пожалуйста, используйте этот шаг за шагом подход к решению задачи.