Что нужно найти в данной задаче про правильную треугольную призму, у которой сфера радиуса R касается всех ребер?

Sladkiy_Pirat

56

Ключевое слово в данной задаче – "правильная треугольная призма". Это означает, что у нас есть треугольное основание, все стороны которого равны между собой, и три боковые грани, которые являются равнобедренными треугольниками.

Призма имеет два основания, и сфера радиуса R касается всех ребер – это означает, что ребра призмы являются касательными линиями между сферой и основанием.

Для решения задачи, давайте разберемся, как найти радиус сферы R.

Известно, что ребра призмы являются касательными линиями между сферой и основанием. Если мы изобразим эту треугольную призму на плоскости, то увидим, что касательные ребра делят треугольник на 3 разных сегмента. Каждый из этих сегментов представляет собой отрезок, который соединяет основание призмы и точку касания со сферой.

Таким образом, у нас есть три таких отрезка, и сумма их длин равна общей длине основания призмы. Обозначим эту длину с помощью символа L. Тогда сумму длин отрезков можно записать следующим образом: L = AB + AC + BC, где AB, AC и BC – длины отрезков.

Также нам известно, что радиус сферы R – это расстояние от центра сферы до любой из вершин треугольника. Пусть это расстояние будет обозначено как H.

Запишем теперь формулы для нахождения H с использованием известных отрезков AB, AC и BC. Рассмотрим треугольники ABO, ACO и BCO, где O – центр сферы.

В треугольнике ABO применим теорему Пифагора: AB^2 = AO^2 + BO^2.

В треугольнике ACO также применим теорему Пифагора: AC^2 = AO^2 + CO^2.

В треугольнике BCO также применим теорему Пифагора: BC^2 = BO^2 + CO^2.

Заметим, что AO и BO – это расстояния от центра сферы до вершин основания призмы, то есть H. Подставим это в формулы:

H^2 + H^2 = AB^2,
H^2 + H^2 = AC^2,
H^2 + H^2 = BC^2.

Сложим все уравнения вместе:

2H^2 + 2H^2 + 2H^2 = AB^2 + AC^2 + BC^2.

Так как AB + AC + BC = L, получаем:

6H^2 = L^2.

Отсюда находим радиус сферы R:

R = H = sqrt(L^2 / 6).

Итак, мы нашли выражение для радиуса сферы R, зависящее от длины основания призмы L.