Які довжини сторін прямокутника з діагоналлю довжиною 17см і площею 120(см)2?

Зимний_Вечер

53

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать следующий метод.

1. Расширение прямоугольника: Давайте предположим, что длина прямоугольника больше или равна его ширине. Пусть длина прямоугольника будет \(a\), а ширина - \(b\).

2. Зная длину диагонали, мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти связь между сторонами и диагональю:

\[
a^2 + b^2 = c^2
\]

где \(c\) - диагональ прямоугольника.

3. В данном случае, диагональ равна 17 см, так что у нас есть:

\[
a^2 + b^2 = 17^2
\]

4. Также известно, что площадь прямоугольника равна 120 квадратных сантиметров:

\[
a \cdot b = 120
\]

5. Теперь мы имеем систему уравнений:

\[
\begin{align*}
a^2 + b^2 &= 289 \\
a \cdot b &= 120
\end{align*}
\]

6. Давайте решим эту систему уравнений. Есть несколько способов решения, и одним из них является метод подстановки:

6.1 Разрешите второе уравнение относительно \(a\):

\[
a = \dfrac{120}{b}
\]

6.2 Подставьте это значение \(a\) в первое уравнение:

\[
\left(\dfrac{120}{b}\right)^2 + b^2 = 289
\]

6.3 Раскройте скобки и преобразуйте уравнение:

\[
\dfrac{14400}{b^2} + b^2 = 289
\]

6.4 Умножьте оба члена уравнения на \(b^2\), чтобы избавиться от дроби:

\[
14400 + b^4 = 289b^2
\]

6.5 Перенесите все члены в одну сторону:

\[
b^4 - 289b^2 + 14400 = 0
\]

6.6 Это четвёртое степенное уравнение, но мы можем заметить, что \((b^2 - 144)(b^2 - 100) = 0\), и решением будет \(b = 12\) и \(b = 10\).

6.7 Подставьте значения \(b\) в уравнение \(a = \dfrac{120}{b}\), чтобы найти значения \(a\):

\[
\begin{align*}
b = 12: \quad a &= \dfrac{120}{12} = 10 \\
b = 10: \quad a &= \dfrac{120}{10} = 12
\end{align*}
\]

Таким образом, получаем два возможных варианта: прямоугольник с длиной 10 см и шириной 12 см, или прямоугольник с длиной 12 см и шириной 10 см.