Які довжини відрізків MP і KT, якщо хорда кола MK перетинає його діаметр ав у точці F (рис 119), а значення кута

Чайный_Дракон_6160

12

Давайте разберемся с данной задачей.

У нас есть круг, в котором есть диаметр \(MK\), пересекающий хорду \(MP\) и точку пересечения этой хорды с диаметром обозначим как \(F\). Задано значение угла \(MFA\) равное 30°, длина отрезка \(MF\) равна 14 см, и мы хотим найти длины отрезков \(MP\) и \(KT\).

Для начала, давайте обратимся к свойству перпендикуляра, пересекающего хорду в ее средней точке. Зная, что отрезок \(MF\) является радиусом круга, перпендикуляр его пересекает в его середине. Таким образом, точка \(F\) является серединой отрезка \(MP\).

Поэтому длина отрезка \(MP\) будет равна двукратной длине отрезка \(MF\). Мы знаем, что длина отрезка \(MF\) равна 14 см. Применяя это знание, мы можем найти длину отрезка \(MP\):

\[MP = 2 \times MF = 2 \times 14 = 28 \, \text{см}\]

Теперь обратимся к треугольнику \(MKT\). Мы знаем, что точка \(F\) является серединой отрезка \(MP\). Так как \(MK\) - это диаметр круга, то угол \(MKT\) будет прямым. Следовательно, треугольник \(MKT\) является прямоугольным треугольником.

Мы знаем, что угол \(MFA\) равен 30°. Так как \(MFA\) и \(KFT\) - это смежные углы, то угол \(KFT\) тоже равен 30°.

Теперь, зная, что треугольник \(MKT\) является прямоугольным и угол \(KFT\) равен 30°, мы можем выразить длину отрезка \(KT\) через тригонометрические функции. Вспомним, что тангенс угла в прямоугольном треугольнике равен отношению длин противоположенного катета к прилежащему.

В нашем случае, противоположенным катетом является отрезок \(KT\), а прилежащим катетом - отрезок \(MP\). Поэтому мы можем записать:

\[\tan KFT = \frac{KT}{MP}\]

Теперь подставим известные значения: угол \(KFT\) равен 30°, а длина отрезка \(MP\) равна 28 см. Получаем:

\[\tan 30° = \frac{KT}{28}\]

Значение тангенса 30° равно \(\frac{1}{\sqrt{3}}\). Подставляем это значение:

\[\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{KT}{28}\]

Теперь можем решить уравнение относительно \(KT\):

\[KT = \frac{28}{\sqrt{3}} \approx 16.18 \, \text{см}\]

Итак, длина отрезка \(MP\) равна 28 см, а длина отрезка \(KT\) равна приблизительно 16.18 см.