Які два натуральних числа мають різницю 8 і сума їх квадратів на 97 більше за добуток цих чисел? Знайдіть ці числа

Шумный_Попугай_7337

26

Давайте розглянемо цю задачу крок за кроком. Для початку, нам потрібно позначити два натуральних числа, які ми шукаємо. Позначимо їх як "х" та "у".
За умовою задачі, ми знаємо, що їх різниця становить 8. Це можна записати рівнянням:
\[x - y = 8\]

Також, задача говорить нам, що сума їх квадратів на 97 більше за добуток цих чисел. Це можна записати таким рівнянням:
\[x^2 + y^2 = xy + 97\]

Тепер ми маємо систему рівнянь з двома невідомими (х та у), і ми можемо її вирішити. Давайте розглянемо кожне рівняння окремо.

1) Розглянемо перше рівняння:
\[x - y = 8\]

Ми можемо виразити одну з невідомих залежно від іншої. Для прикладу, виразимо "х":
\[x = y + 8\]

2) Тепер підставимо це значення "х" у друге рівняння та розв"яжемо його:
\[(y + 8)^2 + y^2 = (y + 8)y + 97\]

Розкриваємо квадрати та спрощуємо вираз:
\[y^2 + 16y + 64 + y^2 = y^2 + 8y + 97\]

Об"єднуємо подібні члени та спрощуємо:
\[2y^2 + 16y + 64 = y^2 + 8y + 97\]

Віднімаємо від обох боків рівняння \(y^2\) та спрощуємо:
\[y^2 + 8y - 33 = 0\]

3) Розв"яжемо це квадратне рівняння. Для зручності, можемо скористатися формулою дискримінанту.
Дискримінант \(\Delta = b^2 - 4ac\), де \(a = 1\), \(b = 8\), \(c = -33\).
\(\Delta = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-33)\)
\(\Delta = 64 + 132\)
\(\Delta = 196\)

Тепер використаємо формули для знаходження коренів квадратного рівняння:
\[y = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\]
\[y = \frac{-8 \pm \sqrt{196}}{2 \cdot 1}\]
\[y = \frac{-8 \pm 14}{2}\]

4) Обчислимо значення "y", яке може мати два варіанти:
\[y_1 = \frac{-8 + 14}{2} = 3\]
\[y_2 = \frac{-8 - 14}{2} = -11\]

5) Тепер підставимо отримані значення "y" у перше рівняння, щоб знайти значення "x":
\[x_1 = y_1 + 8 = 3 + 8 = 11\]
\[x_2 = y_2 + 8 = -11 + 8 = -3\]

Отже, ми отримали два натуральних числа, які задовольняють умові задачі: 11 та 3 або -3 та -11. Але так як умова говорить про натуральні числа, тоді правильним відповіддю є \(x = 11\) і \(y = 3\).