Які два натуральних числа йдуть одне за одним, якщо сума квадратів цих чисел на 57 більша за їхній добуток?

Pizhon

41

Давайте позначимо два натуральних числа, які йдуть одне за одним, через \(x\) і \(x+1\). Зауважте, що перше число - \(x\), а друге число - \(x+1\), оскільки вони йдуть одне за одним.

Ми можемо записати суму квадратів цих чисел за допомогою наступного виразу: \[x^2 + (x+1)^2\]

Також ми можемо записати їхній добуток як: \[x \cdot (x+1)\]

За умовою задачі маємо рівність: сума квадратів на 57 більша за добуток. Іншими словами, ми можемо записати:

\[x^2 + (x+1)^2 > x \cdot (x+1) + 57\]

Давайте розглянемо кожен крок рішення окремо:

1 крок: Відкриємо дужки виразу \((x+1)^2\). Оскільки \((x+1)\) піднесене до квадрату, ми отримуємо: \[x^2 + x^2 + 2x + 1 > x^2 + x + 57\]

2 крок: З"єднаємо подібні доданки зліва і права. Зауважте, що оскільки у нас є \(x^2\) у кожному члені, ми можемо відняти \(x^2\) з обох боків рівності. Так само, у нас є \(x\) у кожному члені, тож ми можемо відняти \(x\) з обох боків рівності. Ми отримаємо: \[x^2 + 2x + 1 - (x^2 + x) > x^2 + x + 57 - (x^2 + x)\]

3 крок: Скоротимо подібні доданки. Ми отримаємо: \[2x + 1 - x^2 - x > 57\]

4 крок: Перенесемо всі терміни з \(x\) на одну сторону рівняння, а константу на іншу. Ми отримаємо: \[-x^2 + x - 56 > 0\]

5 крок: Змінимо знак нерівності, щоб знак лівої частини рівняння був позитивним. Ми отримаємо: \[x^2 - x + 56 < 0\]

Отримане нерівняння \(x^2 - x + 56 < 0\) є квадратним нерівнянням.

Щоб вирішити це нерівняння, ми можемо використати дискримінант.

Дискримінант \(D\) квадратного рівняння \(ax^2 + bx + c = 0\) визначається за формулою: \[D = b^2 - 4ac\]

В нашому випадку, \(a = 1\), \(b = -1\), і \(c = 56\).

Підставляємо ці значення в формулу для дискримінанту: \[D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 56 = 1 - 224 = -223\]

Отримали від"ємний дискримінант (-223). Це означає, що квадратне рівняння \(x^2 - x + 56 = 0\) не має розв"язків.

Отже, не існує двох натуральних чисел, які йдуть одне за одним і відповідають умові задачі.