Які гострі кути має прямокутний трикутник, якщо співвідношення гіпотенузи до катета становить 9:5?

Сладкая_Бабушка

52

Для решения этой задачи, давайте вначале определим, что такое гострый угол. Гострым называется угол, который меньше 90 градусов. Триугольник называется прямоугольным, если у него один из углов равен 90 градусов.

В данной задаче у нас есть прямоугольный треугольник. Пусть катеты этого треугольника обозначены как a и b, а гипотенуза обозначается как c.

Согласно заданию, у нас имеется следующая пропорция:
\(\frac{c}{a} = \frac{9}{5}\)

Мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы выразить гипотенузу через катеты:
\[c^2 = a^2 + b^2\]

Для простоты расчетов, мы можем выбрать \(a\) и \(b\) как коэффициенты пропорции. Давайте предположим, что \(a = 9x\) и \(b = 5x\), где \(x\) является некоторым числовым коэффициентом.

Подставим значения \(a = 9x\) и \(b = 5x\) в формулу Пифагора:
\[c^2 = (9x)^2 + (5x)^2\]
\[c^2 = 81x^2 + 25x^2\]
\[c^2 = 106x^2\]

Теперь мы можем решить уравнение для \(c\) путем извлечения квадратного корня:
\[c = \sqrt{106x^2} = \sqrt{106}\cdot x\]

Таким образом, длина гипотенузы равна \(\sqrt{106}\cdot x\). Как мы знаем, все стороны треугольника должны быть положительными, поэтому \(x\) также должно быть положительным числом.

Теперь давайте рассмотрим гострый угол в этом треугольнике. Как мы знаем, гострые углы трикутника находятся противоборствующим катетам.

Итак, гострые углы в прямоугольном треугольнике будут обозначены как \(A\) и \(B\), где \(A\) противостоит катету \(a\), а \(B\) противостоит катету \(b\).

Теперь мы можем рассчитать тангенс гострого угла \(A\). Тангенс угла \(A\) определяется как отношение противолежащего катета к прилежащему:
\(\tan(A) = \frac{a}{c}\)

Подставим значения \(a = 9x\) и \(c = \sqrt{106}\cdot x\):
\(\tan(A) = \frac{9x}{\sqrt{106}\cdot x} = \frac{9}{\sqrt{106}}\)

Таким образом, значение тангенса гострого угла \(A\) равно \(\frac{9}{\sqrt{106}}\).

Аналогично, мы можем рассчитать тангенс гострого угла \(B\). Тангенс угла \(B\) определяется как отношение противолежащего катета к прилежащему:
\(\tan(B) = \frac{b}{c}\)

Подставим значения \(b = 5x\) и \(c = \sqrt{106}\cdot x\):
\(\tan(B) = \frac{5x}{\sqrt{106}\cdot x} = \frac{5}{\sqrt{106}}\)

Таким образом, значение тангенса гострого угла \(B\) равно \(\frac{5}{\sqrt{106}}\).

Теперь мы нашли тангенсы гострых углов \(A\) и \(B\) в прямоугольном треугольнике со співвідношенням гіпотенузи до катета, равным 9:5.