Які характеристики незатухаючих коливань має тіло, прикріплене до пружини, якщо його координата залежить від часу

Дружище

46

Добре! Для розв"язання цієї задачі нам спочатку необхідно аналізувати рівняння залежності координати тіла від часу.

У нашому випадку, рівняння дано у вигляді \(x = 0.2 \sin(t)\), де \(x\) - координата тіла, а \(t\) - час. З врахуванням даних, що маса тіла дорівнює 400 грамів, ми можемо перейти до визначення інших характеристик цих незатухаючих коливань.

1. Частота: Частота коливань - це кількість повних коливань, які здійснюються за одиницю часу. У нашому випадку, ми можемо використовувати формулу \(f = \frac{1}{T}\), де \(f\) - частота, а \(T\) - період коливань. Знаючи це, давайте визначимо частоту:

\[f = \frac{1}{T}\]

Для цього нам треба знайти період коливань. Оскільки у рівнянні залежності координати від часу вказана функція \(sin(t)\), період коливань дорівнює періоду синусоїдальної функції, тобто \(T = 2\pi\). Замінюємо значення в формулу частоти:

\[f = \frac{1}{2\pi}\]

Тепер ми можемо обчислити частоту, підставивши значення числа \(pi\):

\[f = \frac{1}{2\pi} = \frac{1}{2 \cdot 3.1416} \approx 0.159 \, \text{Гц}\]

2. Період: Період коливань - це час, за який тіло виконує одне повне коливання. Ми вже використали формулу для визначення періоду раніше, і отримали \(T = 2\pi\). Так що період коливань дорівнює \(2\pi\) або приблизно \(6.2832\) секунд.

3. Амплітуда: Амплітуда коливань - це максимальна величина відхилення тіла від положення рівноваги. У нашому випадку, амплітуду можна визначити як максимальне значення координати тіла, тобто 0.2 см або 2 мм.

4. Жорсткість пружини: Жорсткість пружини визначається формулою \(k = \frac{mg}{x}\), де \(m\) - маса тіла, \(g\) - прискорення вільного падіння, \(x\) - величина відхилення пружини. У нашому випадку, маса тіла \(m = 400 \, \text{г}\) (або \(0.4 \, \text{кг}\)), а величина відхилення пружини \(x = 2 \, \text{мм}\) (або \(0.002 \, \text{м}\)). Значення прискорення вільного падіння також треба врахувати, його зазвичай позначають як \(g = 9.8 \, \text{м/с}^2\). Підставимо значення в формулу:

\[k = \frac{mg}{x} = \frac{0.4 \cdot 9.8}{0.002} \approx 196 \, \text{Н/м}\]

5. Довжина математичного маятника: Щоб математичний маятник мав такий самий період коливань, як пружина, його довжина повинна бути обчислена за формулою \(L = \frac{g}{4\pi^2}T^2\), де \(L\) - довжина математичного маятника, \(g\) - прискорення вільного падіння, а \(T\) - період коливань пружини. Підставимо відповідні значення:

\[L = \frac{9.8}{4\pi^2} \cdot (2\pi)^2 \approx 0.25 \, \text{м}\]

Значить, довжина математичного маятника повинна бути близько 0.25 метра.

Таким чином, незатухаючі коливання тіла, прикріпленого до пружини, мають частоту 0.159 Гц, період 6.2832 секунди, амплітуду 2 мм та жорсткість пружини 196 Н/м. Для того, щоб математичний маятник мав такий самий період коливань, його довжина повинна бути близько 0.25 метра. Нагадуємо, що ці характеристики відносяться до коливань на Землі.