Які кути рівнобічної трапеції, якщо верхня основа її вдвічі менша за нижню і рівна бічній стороні?

Солнечный_Смайл

23

Давайте розв"яжемо цю задачу. Ми маємо рівнобічну трапецію, що означає, що у неї дві пари рівних бічних сторін. Нехай \(ABCD\) - це рівнобічна трапеція, де \(AB\) та \(CD\) є основами, а \(AD\) та \(BC\) - бічні сторони. За умовою, верхня основа вдвічі менша за нижню і рівна бічній стороні, тобто \(AB = BC = x\) і \(CD = 2x\).

Перш за все, згадаємо властивість рівнобічної трапеції: сума кутів при основі має значення 180 градусів. Ми можемо скласти два кути при основі трапеції, оскільки вони є рівними. Позначимо кути як \(∠BAD\) і \(∠CDB\).

Друга властивість, яку ми використовуємо, це те, що сума всіх кутів в трикутнику складає 180 градусів. Оскільки \(B\) - вершина трикутника \(ABC\), ми можемо обчислити суму всіх кутів у ньому. Позначимо кути як \(∠ABC\), \(∠BCA\) і \(∠CAB\).

Враховуючи ці властивості, давайте знайдемо значення кутів.

1. Сума кутів при основі трапеції:
\[∠BAD + ∠CDB = 180^\circ.\]

2. Сума кутів у трикутнику \(ABC\):
\[∠ABC + ∠BCA + ∠CAB = 180^\circ.\]

Зауважте, що оскільки трапеція є рівнобічною, значення кутів \(∠ABC\) і \(∠BCA\) будуть однаковими. Аналогічно, значення кутів \(∠BAD\) і \(∠CDB\) також будуть однаковими.

Зверніть увагу, що вираз \(∠BCA\) можна замінити \(∠ABC\), оскільки дві основи трапеції є рівними, а отже кути при них також будуть рівними. Таким чином, нам потрібно знайти тільки значення кути \(∠BAD\) і \(∠CDB\).

3. Виразимо \(∠ABC\) через \(∠BAD\) і \(∠CDB\) (відповідно \(∠BCA\)):
\[∠ABC = 180^\circ - (∠BAD + ∠CDB).\]

4. Підставимо \(∠ABC\) і \(∠BCA\) у рівняння для суми кутів в трикутнику:
\[(180^\circ - (∠BAD + ∠CDB)) + (∠BAD + ∠CDB) + ∠CAB = 180^\circ.\]

5. Спростимо рівняння:
\[180^\circ + ∠CAB - (∠BAD + ∠CDB) + (∠BAD + ∠CDB) = 180^\circ.\]

6. Виразимо \(∠CAB\):
\[∠CAB = (∠BAD + ∠CDB) - 180^\circ.\]

Оскільки кути при основі трапеції (\(∠BAD\) і \(∠CDB\)) є однаковими, давайте позначимо їх значення \(∠BAD = ∠CDB = y\). Підставимо це значення виразу для \(∠CAB\):

\[∠CAB = (y + y) - 180^\circ.\]
\[∠CAB = 2y - 180^\circ.\]

Отже, вираз для кута \(∠CAB\) є \(2y - 180^\circ\).

Тепер у нас є вираз для кута \(∠CAB\) у залежності від \(y\). Нам потрібно знайти \(y\) для підстановки у цей вираз.

Оскільки основа трапеції \(AB\) вдвічі менша за нижню основу \(CD\), ми можемо записати це як \(x = \frac{1}{2} \cdot 2x\). Поділимо обидві частини на \(x\):

\[1 = \frac{1}{2} \cdot \frac{2x}{x}.\]
\[1 = 1.\]

Отримали рівність, що правда для будь-якого значення \(x\). Тому ми не можемо обчислити конкретне значення \(x\) або \(y\) з цієї умови. Однак, ми все ще можемо виразити кути \(∠BAD\), \(∠CDB\) і \(∠CAB\) відносно \(x\).

Таким чином, кути \(∠BAD\) і \(∠CDB\) дорівнюють \(y\), а кут \(∠CAB\) дорівнює \(2y - 180^\circ\).

Надіюся, що цей детальний розв"язок допоміг вам зрозуміти, як знайти кути рівнобічної трапеції у відповідності до заданої умови. Якщо у вас є будь-які інші питання, будь ласка, повідомте мені!