Які є миттєва швидкість тієї точки, яка рухається відповідно до функції s(t) = 1/3t3 + 4t + 1 (де час t вимірюється

Yaroslav

52

Щоб знайти миттєву швидкість точки, яка рухається відповідно до функції \(s(t) = \frac{1}{3}t^3 + 4t + 1\) через 3 секунди, нам потрібно знайти похідну функції \(s(t)\) за часом \(t\) і підставити значення \(t = 3\).

Похідна функції \(s(t)\) дає нам швидкість точки в будь-який момент часу \(t\). Для знаходження похідної використовуємо правила диференціювання:

\[
s"(t) = \frac{d}{dt} \left( \frac{1}{3}t^3 + 4t + 1 \right) = \frac{d}{dt}\left(\frac{1}{3}t^3\right) + \frac{d}{dt}(4t) + \frac{d}{dt}(1)
\]

Значення \(t^3\) можна диференціювати за правилом степеневої похідної, а константи 4 та 1 мають похідні рівні нулю:

\[
s"(t) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{dt}(t^3) + 4 \cdot \frac{d}{dt}(t) + 0 = \frac{1}{3} \cdot 3t^2 + 4 \cdot 1 = t^2 + 4
\]

Тепер візьмемо значення \(t = 3\) і підставимо його у вираз для похідної:

\[
s"(3) = (3^2) + 4 = 9 + 4 = 13
\]

Отже, миттєва швидкість точки після 3 секунд руху становить 13 метрів на секунду.