Які найменші значення може мати вираз 1/x+1/y, якщо x і y - додатні числа і вони задовольняють рівняння x+y=5? Оберіть

Zabytyy_Zamok

10

Добро пожаловать в класс, где мы решаем математические задачи!

Давайте решим данную задачу по шагам. У нас есть выражение \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\), где \(x\) и \(y\) - положительные числа, удовлетворяющие условию \(x+y=5\). Нам нужно найти наименьшее возможное значение этого выражения.

Для начала перепишем уравнение \(x+y=5\) в виде \(y=5-x\), чтобы иметь удобную формулу для подстановки в выражение. Теперь выражение примет вид \(\frac{1}{x} + \frac{1}{5-x}\).

Чтобы найти наименьшее возможное значение этого выражения, нам нужно проанализировать его поведение при разных значениях переменной \(x\).

Воспользуемся методом нахождения экстремума функции. Рассмотрим область значений \(x\) от 0 до 5, так как по условию \(x\) и \(y\) должны быть положительными числами.

1. При \(x=0\) выражение примет вид \(\frac{1}{0} + \frac{1}{5-0}\). Однако, так как в знаменателе появляется деление на ноль, выражение в этом случае будет неопределенным.

2. При \(x=5\) выражение примет вид \(\frac{1}{5} + \frac{1}{5-5}\), что равно \(\frac{1}{5} + \frac{1}{0}\). В этом случае также возникает деление на ноль, а значит, выражение неопределено.

3. Рассмотрим интервал значений \(0 < x < 5\). В этом случае \(5-x > 0\), и выражение \(\frac{1}{x} + \frac{1}{5-x}\) будет определено.

Для определения наименьшего значения этого выражения рассмотрим его производную по переменной \(x\):

\[
\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{5-x}\right)
\]

Производную можно найти с помощью правила дифференцирования суммы и правила дифференцирования частного.

\[
\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{5-x}\right) = -\frac{1}{{x^2}} + \frac{1}{{(5-x)^2}}
\]

Теперь приравняем эту производную к нулю и решим полученное уравнение:

\[
-\frac{1}{{x^2}} + \frac{1}{{(5-x)^2}} = 0
\]

Для удобства решения, домножим обе части уравнения на \(x^2(5-x)^2\), чтобы избавиться от знаменателей:

\[
-(5-x)^2 + x^2 = 0
\]

Раскроем квадрат в левой части уравнения:

\[
-(25 - 10x + x^2) + x^2 = 0
\]

Раскроем скобку и упростим:

\[
-25 + 10x - x^2 + x^2 = 0
\]

Сократим \(x^2\) и \(x^2\) и перенесем все элементы в одну сторону уравнения:

\[
10x - 25 = 0
\]

10x = 25

x = \(\frac{25}{10}\)

x = 2.5

Таким образом, чтобы получить наименьшее значение выражения \(\frac{1}{x} + \frac{1}{5-x}\), необходимо взять \(x = 2.5\).

А теперь воспользуемся этим значением и подставим его в исходное выражение:

\(\frac{1}{2.5} + \frac{1}{5-2.5} = \frac{2}{5} + \frac{2}{2.5} = \frac{2}{5} + \frac{8}{10} = \frac{2}{5} + \frac{4}{5} = \frac{6}{5}\)

Таким образом, наименьшее значение выражения \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\) равно \(\frac{6}{5}\).

Надеюсь, что данный подробный разбор помог вам понять данную задачу.