Які є найменші значення виразу 1/x + 1/y при умові, що x та y - додатні числа, а x + y = 5? Обгрунтуйте, будь ласка

Морозная_Роза_7703

6

Чтобы найти наименьшее значение выражения \(1/x + 1/y\) при условии, что \(x\) и \(y\) являются положительными числами и \(x + y = 5\), мы можем воспользоваться методом математического анализа.

Давайте начнем с выражения \(1/x + 1/y\). Чтобы найти его минимальное значение, можно взять производную этого выражения по \(x\) и приравнять ее к нулю. Так как нам дано, что \(x + y = 5\), мы можем использовать это условие, чтобы получить выражение только с одной переменной. Пусть \(y = 5 - x\). Теперь подставим это значение в исходное выражение:

\[
\frac{1}{x} + \frac{1}{5 - x}
\]

Теперь продифференцируем это выражение по \(x\):

\[
\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{5 - x}\right) = -\frac{1}{x^2} + \frac{1}{(5 - x)^2}
\]

Теперь найдем точку, в которой производная равняется нулю:

\[
-\frac{1}{x^2} + \frac{1}{(5 - x)^2} = 0
\]

Умножим обе части уравнения на \(x^2(5 - x)^2\):

\[
-(5 - x)^2 + x^2 = 0
\]

Раскроем квадраты и приведем подобные слагаемые:

\[
25 - 10x + x^2 + x^2 = 0
\]

\[
2x^2 - 10x + 25 = 0
\]

Это квадратное уравнение. Можем решить его с помощью формулы для нахождения корней квадратного уравнения:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

Сравним уравнение \(2x^2 - 10x + 25 = 0\) с общей формой квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\). В данном случае, \(a = 2\), \(b = -10\), и \(c = 25\). Подставим эти значения в формулу для корней:

\[
x = \frac{-(-10) \pm \sqrt{(-10)^2 - 4(2)(25)}}{2(2)}
\]

\[
x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 200}}{4}
\]

\[
x = \frac{10 \pm \sqrt{-100}}{4}
\]

Заметим, что у нас получается отрицательное значение под квадратным корнем. Это означает, что у квадратного уравнения нет реальных корней. То есть, оно не имеет действительных решений.

Это означает, что функция \(\frac{1}{x} + \frac{1}{5 - x}\) не имеет экстремумов на интервале \(0 < x < 5\) и \(x + y = 5\). Таким образом, она не имеет наименьшего значения и не существует таких положительных чисел \(x\) и \(y\), которые бы удовлетворяли условию и минимизировали данное выражение.

В результате, можно заключить, что выражение \(1/x + 1/y\) не имеет наименьшего значения при условии, что \(x\) и \(y\) - положительные числа и \(x + y = 5\).