Які є рівняння дотичної до кривої функції f(x)=x2+3x-8, яка має паралельну пряму y=9x-1?

Igorevich

64

Чтобы найти уравнение касательной к кривой функции \(f(x)=x^2+3x-8\), которая параллельна прямой \(y=9x-1\), нам понадобятся некоторые знания из дифференциального исчисления.

Дифференцируем данную функцию \(f(x)\) с помощью правила дифференцирования суммы, произведения и степени:

\[
f"(x) = \frac{{d}}{{dx}}(x^2 + 3x - 8) = \frac{{d}}{{dx}}x^2 + \frac{{d}}{{dx}}3x - \frac{{d}}{{dx}}8 = 2x + 3
\]

Теперь мы имеем производную \(f"(x)\) функции \(f(x)\). Эта производная представляет собой угловой коэффициент касательной в каждой точке \(x\) кривой функции \(f(x)\). Чтобы найти уравнение касательной, мы должны знать точку, через которую она проходит.

Для того, чтобы касательная была параллельна прямой \(y = 9x - 1\), угловые коэффициенты этих двух прямых должны быть равны. Угловой коэффициент прямой \(y = 9x - 1\) равен 9.

Следовательно, угловой коэффициент касательной должен быть равен 9. Мы можем использовать это значение, чтобы найти точку, через которую проходит касательная, и затем составить уравнение.

Найдем точку \(x_0\), через которую проходит касательная. Такая точка может быть найдена путем решения уравнения \(2x_0 + 3 = 9\):

\[
2x_0 = 9 - 3 \implies 2x_0 = 6 \implies x_0 = 3
\]

Теперь у нас есть точка \(x_0 = 3\). Чтобы найти соответствующую точку \(y_0\), мы подставим \(x_0\) в уравнение кривой функции \(f(x)\):

\[
y_0 = f(3) = (3)^2 + 3(3) - 8 = 9 + 9 - 8 = 10
\]

Теперь у нас есть точка \((3, 10)\), через которую проходит касательная.

Так как у нас есть точка \((3, 10)\) и угловой коэффициент 9, мы можем использовать уравнение прямой для нахождения уравнения касательной. Используем формулу:

\[
y - y_0 = m(x - x_0)
\]

Где \(m\) - угловой коэффициент, \(x_0\) и \(y_0\) - координаты точки.

Подставим известные значения:

\[
y - 10 = 9(x - 3)
\]

Раскроем скобки:

\[
y - 10 = 9x - 27
\]

Перенесем все члены на одну сторону:

\[
y - 9x = -27 + 10 \implies y - 9x = -17
\]

Это уравнение \(y - 9x = -17\) является уравнением касательной к кривой функции \(f(x) = x^2 + 3x - 8\), которая параллельна прямой \(y = 9x - 1\).