Які є сторони прямокутника, побудованого на гіпотенузі рівнобедреного прямокутного трикутника, якщо відношення сторін

Валерия

31

Давайте розглянемо цю задачу крок за кроком:

1. Позначимо сторони рівнобедреного прямокутного трикутника як \(a\), \(a\), і \(c\), де \(c\) - гіпотенуза.
2. За умовою задачі, відомо, що відношення сторін \(a\) і \(b\) становить 3:5. Це можна записати у вигляді рівняння: \(\frac{a}{b} = \frac{3}{5}\).
3. Оскільки трикутник рівнобедрений, то \(a = b\). Тому рівняння можна переписати як \(\frac{a}{a} = \frac{3}{5}\), або просто \(1 = \frac{3}{5}\). Це показує, що \(a = \frac{3}{5}c\) і \(b = \frac{5}{3}c\).
4. Тепер можемо знайти довжину гіпотенузи \(c\). Позначимо її за \(x\). Оскільки гіпотенуза є найдовшою стороною прямокутного трикутника, \(c\) буде більшою з сторін \(a\) і \(b\), тобто \(c > a\) і \(c > b\).
5. Ці сторони пов"язані теоремою Піфагора: \(c^2 = a^2 + b^2\). Підставимо значення \(a\) і \(b\): \(x^2 = (\frac{3}{5}x)^2 + (\frac{5}{3}x)^2 = \frac{9}{25}x^2 + \frac{25}{9}x^2\).
6. Зробимо спільний знаменник: \(\frac{9}{25}x^2 + \frac{25}{9}x^2 = \frac{81}{225}x^2 + \frac{625}{225}x^2 = \frac{706}{225}x^2\).
7. Отже, отримали рівняння \(x^2 = \frac{706}{225}x^2\), яке допоможе знайти значення \(x\).
8. Поділимо обидві сторони на \(x^2\): \(1 = \frac{706}{225}\), звідки отримаємо \(x^2 = \frac{225}{706}\).
9. Взявши квадратний корінь з обох сторін, отримаємо \(x = \sqrt{\frac{225}{706}}\), що є значенням довжини гіпотенузи.
10. Тепер можемо знайти сторони прямокутника, побудованого на гіпотенузі, які дорівнюють \(a = \frac{3}{5}x\) і \(b = \frac{5}{3}x\).

Таким чином, ми знайшли значення сторін прямокутника, побудованого на гіпотенузі рівнобедреного прямокутного трикутника.