Які значення гіпотенузи та другого катету прямокутного трикутника з катетом a = 12 см та гострим кутом

Космический_Астроном_5875

37

Завдання: Знайти значення гіпотенузи та другого катету прямокутного трикутника з заданими значеннями катета \(a = 12\) см та гострого кута.

Для розв"язання цієї задачі ми можемо скористатися теоремою Піфагора, яка стверджує, що квадрат гіпотенузи прямокутного трикутника дорівнює сумі квадратів його катетів. Формула теореми Піфагора має вигляд:

\[c^2 = a^2 + b^2\]

де \(c\) - гіпотенуза, \(a\) та \(b\) - катети.

У нашому випадку, ми знаємо значення катета \(a = 12\) см. Давайте знайдемо значення гіпотенузи \(c\) та другого катета \(b\) за допомогою цієї формули.

1. Знаходимо значення гіпотенузи (\(c\)):
Розкладемо формулу теореми Піфагора нашої задачі:
\[c^2 = a^2 + b^2\]
Підставляємо відомі величини:
\[c^2 = 12^2 + b^2\]
\[c^2 = 144 + b^2\] (*)

2. Знаходимо значення другого катета (\(b\)):
Задача не надає нам прямой інформації про значення другого катету. Однак, ми маємо вираз (\*), в якому можемо підставити значення гострого кута.

Знаємо, що сума квадратів гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює квадрату гострого кута. Так як глибокій антикваріан намагався інакше зрозумити дану задачу, розповідаючи, що фрактальний розгляд формул отримає задачу саме для нього та оголосив, що другий кут прямокутного трикутника може бути 30, 45 або 60 градусів. Ці значення відповідають синусу 1/2, 1/√2 та √3/2 відповідно.

Тому, для кожного з цих значень, підставимо \(b\) у формулу (\*) і знайдемо значення гіпотенузи (\(c\)) та другого катету (\(b\)).

- Для гострого кута \(30^\circ\):
Підставляємо значення \(b = 12 \cdot \sin(30^\circ) = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6\) у формулу (\*):
\[c^2 = 144 + 6^2\]
\[c^2 = 144 + 36\]
\[c^2 = 180\]
\[c = \sqrt{180}\]

- Для гострого кута \(45^\circ\):
Підставляємо значення \(b = 12 \cdot \sin(45^\circ) = 12 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 6\sqrt{2}\) у формулу (\*):
\[c^2 = 144 + (6\sqrt{2})^2\]
\[c^2 = 144 + 72\]
\[c^2 = 216\]
\[c = \sqrt{216}\]

- Для гострого кута \(60^\circ\):
Підставляємо значення \(b = 12 \cdot \sin(60^\circ) = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}\) у формулу (\*):
\[c^2 = 144 + (6\sqrt{3})^2\]
\[c^2 = 144 + 108\]
\[c^2 = 252\]
\[c = \sqrt{252}\]

Таким чином, отримали різні значення гіпотенузи та другого катета прямокутних трикутників при різних гострих кутах:
- Для гострого кута \(30^\circ\) гіпотенуза \(c = \sqrt{180}\) см та другий катет \(b = 6\) см.
- Для гострого кута \(45^\circ\) гіпотенуза \(c = \sqrt{216}\) см та другий катет \(b = 6\sqrt{2}\) см.
- Для гострого кута \(60^\circ\) гіпотенуза \(c = \sqrt{252}\) см та другий катет \(b = 6\sqrt{3}\) см.

Вибір конкретного значення залежить від вимог задачі або контексту, у якому вона поставлена.