Які значення основ трапеції, якщо в одному з кутів рівнобічної трапеції рівні 120°, а діагональ утворює з третьою

Stanislav

14

Щоб знайти значення основ трапеції, нам спочатку потрібно розібратися з властивостями трикутників та трапецій.

Згідно з умовою, в одному з кутів рівнобічної трапеції рівні 120°. Рівнобічна трапеція - це трапеція, у якої протилежні бічні сторони та дві прилеглі основи є рівними.

Ми також знаємо, що діагональ утворює з третьою основою кут 30°. За властивостями трапеції, діагоналі трапеції діляться навпіл. Тому кут між діагоналлю та кожною з основ буде рівний куту між діагоналлю та другою основою.

Зауважимо, що сума внутрішніх кутів трапеції дорівнює 360°. Також, оскільки в одному з кутів між діагоналлю та основою дорівнює 30°, то це означає, що в іншому куті між діагоналлю та основою буде 180° - 30° = 150°.

Знаючи це, давайте позначимо основи трапеції як \(a\) і \(b\), діагональ - як \(d\) і бічну сторону - як \(c\).

Оскільки рівнобічна трапеція має рівні бічні сторони, то \(c = 8\) см.

Кут між діагоналлю і основою \(a\) дорівнює 30°, тому ми можемо скористатися косинусним законом для трикутника:

\[\cos(30^\circ) = \frac{a}{d}\]

\[a = d \cdot \cos(30^\circ)\]

Кут між діагоналлю і основою \(b\) дорівнює 150°, тому ми можемо так само скористатися косинусним законом:

\[\cos(150^\circ) = \frac{b}{d}\]

\[b = d \cdot \cos(150^\circ)\]

Остаточно, нам потрібно знайти значення основ \(a\) і \(b\), так щоб сума їх довжини дорівнювала довжині бічної сторони \(c\). Тобто,

\[a + b = c\]

Підставляючи значення, отримуємо:

\[d \cdot \cos(30^\circ) + d \cdot \cos(150^\circ) = 8\]

Тепер ми можемо обчислити значення основ трапеції, розв"язавши це рівняння. Але перед цим ми повинні згадати, що косинуси для 30° і 150° можна виразити через косинуси 60° та 120° з використанням тригонометричних формул.

\[\cos(30^\circ) = \cos(60^\circ - 30^\circ) = \cos(60^\circ) \cdot \cos(30^\circ) + \sin(60^\circ) \cdot \sin(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}\]

\[\cos(150^\circ) = \cos(60^\circ + 90^\circ) = \cos(60^\circ) \cdot \cos(90^\circ) - \sin(60^\circ) \cdot \sin(90^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 0 - \frac{1}{2} \cdot 1 = -\frac{1}{2}\]

Підставляючи ці значення, отримуємо:

\[d \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + d \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 8\]

Тепер розв"яжемо це рівняння відносно \(d\):

\[\frac{\sqrt{3}}{2}d - \frac{1}{2}d = 8\]

\[\frac{\sqrt{3}-1}{2}d = 8\]

\[d = \frac{16}{\sqrt{3}-1}\]

Підставимо значення \(d\) в формули для \(a\) і \(b\):

\[a = \frac{16}{\sqrt{3}-1} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{16\sqrt{3}}{2(\sqrt{3}-1)} = \frac{8\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}\]

\[b = \frac{16}{\sqrt{3}-1} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{8}{\sqrt{3}-1}\]

Таким чином, значення основ трапеції \(a\) та \(b\) будуть \(\frac{8\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}\) та \(-\frac{8}{\sqrt{3}-1}\) відповідно.

Щодо терміну здачі роботи - вам необхідно звернутися до вашого вчителя, оскільки це залежить від внутрішніх правил вашої школи.