Які значення основ трапеції, якщо в одному з кутів рівнобічної трапеції рівні 120°, а діагональ утворює з третьою

Stanislav

14

Щоб знайти значення основ трапеції, нам спочатку потрібно розібратися з властивостями трикутників та трапецій.

Згідно з умовою, в одному з кутів рівнобічної трапеції рівні 120°. Рівнобічна трапеція - це трапеція, у якої протилежні бічні сторони та дві прилеглі основи є рівними.

Ми також знаємо, що діагональ утворює з третьою основою кут 30°. За властивостями трапеції, діагоналі трапеції діляться навпіл. Тому кут між діагоналлю та кожною з основ буде рівний куту між діагоналлю та другою основою.

Зауважимо, що сума внутрішніх кутів трапеції дорівнює 360°. Також, оскільки в одному з кутів між діагоналлю та основою дорівнює 30°, то це означає, що в іншому куті між діагоналлю та основою буде 180° - 30° = 150°.

Знаючи це, давайте позначимо основи трапеції як $a$ і $b$, діагональ - як $d$ і бічну сторону - як $c$.

Оскільки рівнобічна трапеція має рівні бічні сторони, то $c=8$ см.

Кут між діагоналлю і основою $a$ дорівнює 30°, тому ми можемо скористатися косинусним законом для трикутника:

$$\cos ({30}^{\circ })=\frac{a}{d}$$

$$a=d\cdot \cos ({30}^{\circ })$$

Кут між діагоналлю і основою $b$ дорівнює 150°, тому ми можемо так само скористатися косинусним законом:

$$\cos ({150}^{\circ })=\frac{b}{d}$$

$$b=d\cdot \cos ({150}^{\circ })$$

Остаточно, нам потрібно знайти значення основ $a$ і $b$, так щоб сума їх довжини дорівнювала довжині бічної сторони $c$. Тобто,

$$a+b=c$$

Підставляючи значення, отримуємо:

$$d\cdot \cos ({30}^{\circ })+d\cdot \cos ({150}^{\circ })=8$$

Тепер ми можемо обчислити значення основ трапеції, розв"язавши це рівняння. Але перед цим ми повинні згадати, що косинуси для 30° і 150° можна виразити через косинуси 60° та 120° з використанням тригонометричних формул.

$$\cos ({30}^{\circ })=\cos ({60}^{\circ }-{30}^{\circ })=\cos ({60}^{\circ })\cdot \cos ({30}^{\circ })+\sin ({60}^{\circ })\cdot \sin ({30}^{\circ })=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

$$\cos ({150}^{\circ })=\cos ({60}^{\circ }+{90}^{\circ })=\cos ({60}^{\circ })\cdot \cos ({90}^{\circ })-\sin ({60}^{\circ })\cdot \sin ({90}^{\circ })=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 0-\frac{1}{2}\cdot 1=-\frac{1}{2}$$

Підставляючи ці значення, отримуємо:

$$d\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+d\cdot (-\frac{1}{2})=8$$

Тепер розв"яжемо це рівняння відносно $d$:

$$\frac{\sqrt{3}}{2}d-\frac{1}{2}d=8$$

$$\frac{\sqrt{3}-1}{2}d=8$$

$$d=\frac{16}{\sqrt{3}-1}$$

Підставимо значення $d$ в формули для $a$ і $b$:

$$a=\frac{16}{\sqrt{3}-1}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{16\sqrt{3}}{2(\sqrt{3}-1)}=\frac{8\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}$$

$$b=\frac{16}{\sqrt{3}-1}\cdot (-\frac{1}{2})=-\frac{8}{\sqrt{3}-1}$$

Таким чином, значення основ трапеції $a$ та $b$ будуть $\frac{8\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}$ та $-\frac{8}{\sqrt{3}-1}$ відповідно.

Щодо терміну здачі роботи - вам необхідно звернутися до вашого вчителя, оскільки це залежить від внутрішніх правил вашої школи.