Яким буде об єм похилої трикутної призми з базою рівностороннього трикутника, довжина сторони якого дорівнює 5
Яким буде об"єм похилої трикутної призми з базою рівностороннього трикутника, довжина сторони якого дорівнює 5 см, і бічне ребро має довжину 6 см та утворює кут 60° з площиною основи?
Moroznyy_Korol 64
Для решения этой задачи мы можем использовать формулу для объема призмы, которая представляет собой произведение площади основания на высоту:\[ V = S_{\text{осн}} \times h \]
Так как у нас есть равносторонний треугольник с длиной стороны 5 см, мы можем использовать его для нахождения площади основания (\( S_{\text{осн}} \)).
Площадь основания равностороннего треугольника можно найти, используя следующую формулу:
\[ S_{\text{осн}} = \frac{{a^2 \sqrt{3}}}{4} \]
где \( a \) - длина стороны треугольника.
В данном случае, длина стороны треугольника равна 5 см, поэтому мы можем вычислить площадь основания:
\[ S_{\text{осн}} = \frac{{5^2 \sqrt{3}}}{4} = \frac{{25 \sqrt{3}}}{4} \]
Теперь нам нужно найти высоту (\( h \)) треугольной призмы. Она равна длине бокового ребра призмы. У нас дано, что боковое ребро имеет длину 6 см. Также, нам дано, что боковое ребро образует угол 60° с плоскостью основания.
Используя терминологию прямоугольного треугольника, мы знаем, что одна из катетов равна 6 см, а гипотенуза (боковое ребро) составляет угол 60°. Мы можем использовать тригонометрическую функцию синуса для вычисления второго катета (высоты призмы):
\[ h = \text{боковое ребро} \times \sin(60^\circ) \]
\[ h = 6 \times \sin(60^\circ) \]
Так как значение синуса 60° равно \( \frac{{\sqrt{3}}}{2} \), мы можем продолжить вычисления:
\[ h = 6 \times \frac{{\sqrt{3}}}{2} \]
\[ h = 3\sqrt{3} \]
Теперь у нас есть значение площади основания (\( S_{\text{осн}} = \frac{{25 \sqrt{3}}}{4} \)) и значение высоты (\( h = 3\sqrt{3} \)). Мы можем использовать эти значения для нахождения объема (\( V \)) призмы:
\[ V = S_{\text{осн}} \times h \]
\[ V = \frac{{25 \sqrt{3}}}{4} \times 3\sqrt{3} \]
\[ V = \frac{{25 \cdot 3 \cdot 3 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}}{4} \]
\[ V = \frac{{225 \sqrt{3}}}{4} \]
Таким образом, объем похилої трикутної призми с данными параметрами составляет \( \frac{{225 \sqrt{3}}}{4} \) кубических сантиметров.