Яким буде висота правильної трикутної піраміди, яка має основу площею 27√3 см² і повну поверхню площею 72√3 см²?

Lelya

70

Для решения этой задачи, давайте воспользуемся формулой для объема пирамиды:

\[ V = \dfrac{1}{3} \cdot S \cdot h, \]

где \( V \) - объем пирамиды, \( S \) - площадь основания, \( h \) - высота пирамиды.

Мы знаем, что площадь основания пирамиды равна 27√3 см², а полная поверхность равна 72√3 см². Мы также знаем, что полная поверхность пирамиды состоит из площади основания и площади всех боковых поверхностей.

Поскольку пирамида правильная, каждая боковая сторона является равносторонним треугольником. Поэтому, площадь каждого бокового треугольника будет равна

\[ \dfrac{\sqrt{3}}{4} \cdot a^2, \]

где \( a \) - длина стороны бокового треугольника.

Так как у нас три боковых поверхности, общая площадь боковых поверхностей будет

\[ 3 \cdot \left( \dfrac{\sqrt{3}}{4} \cdot a^2 \right). \]

Теперь, чтобы найти высоту пирамиды, мы можем использовать формулу для полной поверхности пирамиды:

\[ P = S + 3 \cdot \left( \dfrac{\sqrt{3}}{4} \cdot a^2 \right), \]

где \( P \) - полная поверхность пирамиды.

Подставив известные значения, мы получим:

\[ 72\sqrt{3} = 27\sqrt{3} + 3 \cdot \left( \dfrac{\sqrt{3}}{4} \cdot a^2 \right). \]

Мы можем сократить на \(\sqrt{3}\) с обеих сторон уравнения:

\[ 24 = 9 + \dfrac{3}{4} \cdot a^2. \]

После упрощения, мы получим:

\[ \dfrac{3}{4} \cdot a^2 = 15. \]

Теперь можно решить это уравнение, чтобы найти длину стороны бокового треугольника \( a \):

\[ a^2 = \dfrac{15}{\dfrac{3}{4}}, \]
\[ a^2 = 20. \]

Извлекая квадратный корень с обеих сторон, мы получаем:

\[ a = \sqrt{20}, \]
\[ a = 2\sqrt{5}. \]

Теперь мы можем найти высоту пирамиды, используя теорему Пифагора, поскольку сторона \( a \) является гипотенузой прямоугольного треугольника, а высота пирамиды - одна из катетов:

\[ h^2 = (\sqrt{a^2} - \dfrac{1}{2} \cdot a)^2 + (\dfrac{1}{2} \cdot a)^2, \]
\[ h^2 = (a - \dfrac{1}{2} \cdot a)^2 + (\dfrac{1}{2} \cdot a)^2, \]
\[ h^2 = (\dfrac{1}{2} \cdot a)^2 + (\dfrac{1}{2} \cdot a)^2, \]
\[ h^2 = \dfrac{1}{4} \cdot a^2 + \dfrac{1}{4} \cdot a^2, \]
\[ h^2 = \dfrac{2}{4} \cdot a^2, \]
\[ h^2 = \dfrac{1}{2} \cdot a^2. \]

Подставляя известные значения, получаем:

\[ h^2 = \dfrac{1}{2} \cdot (2\sqrt{5})^2, \]
\[ h^2 = 2 \cdot 5, \]
\[ h^2 = 10. \]

Извлекая квадратный корень с обеих сторон, мы получаем:

\[ h = \sqrt{10}. \]

Таким образом, высота правильной треугольной пирамиды равна \(\sqrt{10}\) см.