Яким буде висота правильної трикутної піраміди, яка має основу площею 27√3 см² і повну поверхню площею 72√3 см²?

Lelya

70

Для решения этой задачи, давайте воспользуемся формулой для объема пирамиды:

$$V={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot S\cdot h,$$

где $V$ - объем пирамиды, $S$ - площадь основания, $h$ - высота пирамиды.

Мы знаем, что площадь основания пирамиды равна 27√3 см², а полная поверхность равна 72√3 см². Мы также знаем, что полная поверхность пирамиды состоит из площади основания и площади всех боковых поверхностей.

Поскольку пирамида правильная, каждая боковая сторона является равносторонним треугольником. Поэтому, площадь каждого бокового треугольника будет равна

$${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}\cdot a^2,$$

где $a$ - длина стороны бокового треугольника.

Так как у нас три боковых поверхности, общая площадь боковых поверхностей будет

$$3\cdot ({\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}\cdot a^2).$$

Теперь, чтобы найти высоту пирамиды, мы можем использовать формулу для полной поверхности пирамиды:

$$P=S+3\cdot ({\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}\cdot a^2),$$

где $P$ - полная поверхность пирамиды.

Подставив известные значения, мы получим:

$$72\sqrt{3}=27\sqrt{3}+3\cdot ({\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}\cdot a^2).$$

Мы можем сократить на $\sqrt{3}$ с обеих сторон уравнения:

$$24=9+{\displaystyle \frac{3}{4}}\cdot a^2.$$

После упрощения, мы получим:

$${\displaystyle \frac{3}{4}}\cdot a^2=15.$$

Теперь можно решить это уравнение, чтобы найти длину стороны бокового треугольника $a$:

$$a^2={\displaystyle \frac{15}{{\displaystyle \frac{3}{4}}}},$$
$$a^2=20.$$

Извлекая квадратный корень с обеих сторон, мы получаем:

$$a=\sqrt{20},$$
$$a=2\sqrt{5}.$$

Теперь мы можем найти высоту пирамиды, используя теорему Пифагора, поскольку сторона $a$ является гипотенузой прямоугольного треугольника, а высота пирамиды - одна из катетов:

$$h^2=(\sqrt{a^2}-{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot a{)}^2+({\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot a{)}^2,$$
$$h^2=(a-{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot a{)}^2+({\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot a{)}^2,$$
$$h^2=({\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot a{)}^2+({\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot a{)}^2,$$
$$h^2={\displaystyle \frac{1}{4}}\cdot a^2+{\displaystyle \frac{1}{4}}\cdot a^2,$$
$$h^2={\displaystyle \frac{2}{4}}\cdot a^2,$$
$$h^2={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot a^2.$$

Подставляя известные значения, получаем:

$$h^2={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot (2\sqrt{5}{)}^2,$$
$$h^2=2\cdot 5,$$
$$h^2=10.$$

Извлекая квадратный корень с обеих сторон, мы получаем:

$$h=\sqrt{10}.$$

Таким образом, высота правильной треугольной пирамиды равна $\sqrt{10}$ см.