Яким буде знаменник зростаючої геометричної прогресії, якщо її третій, четвертий і шостий члени утворюють арифметичну

Светлячок_В_Ночи

5

Данная задача подразумевает использование понятий геометрической и арифметической прогрессии. Давайте разберемся пошагово, как решить эту задачу.

Шаг 1: Понимание задачи
Мы должны найти знаменник зростаючої геометричної прогресії, в которой третій, четвертий і шостий члени образуют арифметическую прогресію.

Шаг 2: Введение обозначений
Обозначим знаменник геометрической прогрессии через \(q\), третий член через \(a_3\), четвертый член через \(a_4\), и шестой член через \(a_6\).

Шаг 3: Выражение членов прогрессий
Исходя из условия, можем записать следующее:
\(a_3 = a_1 \cdot q^2\) (третий член геометрической прогрессии)
\(a_4 = a_1 \cdot q^3\) (четвертый член геометрической прогрессии)
\(a_6 = a_1 \cdot q^5\) (шестой член геометрической прогрессии)

Также, известно, что третий, четвертый и шестой члены образуют арифметическую прогрессию. Это означает, что разность между ними будет постоянной. Предположим, что эта разность равна \(d\).

Тогда можно записать:
\(a_4 - a_3 = a_6 - a_4 = d\)

Шаг 4: Решение уравнений
Используя ранее записанные равенства, получим два уравнения:
\(a_1 \cdot q^3 - a_1 \cdot q^2 = a_1 \cdot q^5 - a_1 \cdot q^3 = d\)

После сокращений уравнения примут следующий вид:
\(a_1 \cdot q^2 \cdot (q - 1) = a_1 \cdot q^3 \cdot (q^2 - 1) = d\)

Шаг 5: Нахождение знаменника геометрической прогрессии
Для нахождения знаменника геометрической прогрессии (\(q\)), мы можем поделить одно уравнение на другое:
\(\frac{{a_1 \cdot q^2 \cdot (q - 1)}}{{a_1 \cdot q^3 \cdot (q^2 - 1)}} = \frac{d}{d}\)
\(\frac{{q - 1}}{{q^2 - 1}} = 1\)

Решив это уравнение, найдем значение \(q\).

Шаг 6: Решение уравнения
Мы можем упростить уравнение, переместив множитель \(q^2 - 1\) в числитель:
\(\frac{{q - 1}}{{q^2 - 1}} = \frac{1}{{q + 1}}\)

Затем помножим обе части уравнения на \(q + 1\), чтобы избавиться от дроби:
\(q - 1 = 1\)

Добавим 1 к обеим сторонам уравнения:
\(q = 2\)

Шаг 7: Проверка
Теперь мы можем проверить правильность нашего ответа, подставив найденное значение \(q\) в исходные равенства и проверив, образуют ли третий, четвертый и шестой члены арифметическую прогрессию.

Заметим, что при \(q = 2\) верны все равенства:
\(a_3 = a_1 \cdot 2^2 = 4a_1\)
\(a_4 = a_1 \cdot 2^3 = 8a_1\)
\(a_6 = a_1 \cdot 2^5 = 32a_1\)
\(a_4 - a_3 = 8a_1 - 4a_1 = 4a_1\)
\(a_6 - a_4 = 32a_1 - 8a_1 = 24a_1\)

Таким образом, знаменник зростаючої геометричної прогресії равен 2.