Яким був період піврозпаду радіоактивного елемента (у роках), якщо його активність зменшилась до 1/8 від початкового

Морской_Капитан

19

Для розв"язання цього завдання ми можемо скористатися формулою для періоду піврозпаду радіоактивного елемента. Формула має наступний вигляд:

\[N = N_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T}}\]

де \(N\) - активність після певного періоду часу \(t\), \(N_0\) - початкова активність, \(T\) - період піврозпаду.

Ми знаємо, що активність зменшилась до \(\frac{1}{8}\) від початкового рівня. Отже, після 135 років активність становитиме \(\frac{1}{8}\) від початкового рівня. Позначимо цю активність \(N\), тоді \(N = \frac{1}{8} \cdot N_0\). Також ми знаємо, що період піврозпаду - це той період часу, протягом якого активність зменшується вдвічі. Тому, \(T\) є шуканим значенням.

Використовуючи отримані вище відомості та формулу, ми можемо записати наше рівняння:

\[\frac{1}{8} \cdot N_0 = N_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{135}{T}}\]

Для подальшого розв"язання знаходження \(T\), ми можемо спростити рівняння, поділивши обидві частини на \(N_0\):

\[\frac{1}{8} = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{135}{T}}\]

Далі, можемо використовувати властивості степеневої функції для знаходження значення \(T\). Беремо логарифм обох частин рівняння за основою 2:

\[\log_2{\frac{1}{8}} = \log_2{\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{135}{T}}}\]

Використовуючи властивість логарифма \(a^{\frac{b}{c}} = c \cdot \log_a{b}\), наше рівняння можна спростити:

\[\log_2{\frac{1}{8}} = \frac{135}{T} \cdot \log_2{\frac{1}{2}}\]

Далі, вирахуємо значення логарифмів:

\(3 = -\frac{135}{T}\)

Тепер ми можемо знайти значення \(T\), помноживши обидві частини рівняння на \(-\frac{T}{135}\):

\(-\frac{3T}{135} = 1\)

Далі, можемо спростити рівняння, помноживши обидві частини на \(\frac{-135}{3}\):

\(T = 45\)

Отже, період піврозпаду радіоактивного елемента становить 45 років.