Яким був період піврозпаду радіоактивного елемента (у роках), якщо його активність зменшилась до 1/8 від початкового

Морской_Капитан

19

Для розв"язання цього завдання ми можемо скористатися формулою для періоду піврозпаду радіоактивного елемента. Формула має наступний вигляд:

$$N=N_0\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{t}{T}}$$

де $N$ - активність після певного періоду часу $t$, $N_0$ - початкова активність, $T$ - період піврозпаду.

Ми знаємо, що активність зменшилась до $\frac{1}{8}$ від початкового рівня. Отже, після 135 років активність становитиме $\frac{1}{8}$ від початкового рівня. Позначимо цю активність $N$, тоді $N=\frac{1}{8}\cdot N_0$. Також ми знаємо, що період піврозпаду - це той період часу, протягом якого активність зменшується вдвічі. Тому, $T$ є шуканим значенням.

Використовуючи отримані вище відомості та формулу, ми можемо записати наше рівняння:

$$\frac{1}{8}\cdot N_0=N_0\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{135}{T}}$$

Для подальшого розв"язання знаходження $T$, ми можемо спростити рівняння, поділивши обидві частини на $N_0$:

$$\frac{1}{8}={\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{135}{T}}$$

Далі, можемо використовувати властивості степеневої функції для знаходження значення $T$. Беремо логарифм обох частин рівняння за основою 2:

$${\log }_2\frac{1}{8}={\log }_2{\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{135}{T}}$$

Використовуючи властивість логарифма $a^{\frac{b}{c}}=c\cdot {\log }_{a}b$, наше рівняння можна спростити:

$${\log }_2\frac{1}{8}=\frac{135}{T}\cdot {\log }_2\frac{1}{2}$$

Далі, вирахуємо значення логарифмів:

$3=-\frac{135}{T}$

Тепер ми можемо знайти значення $T$, помноживши обидві частини рівняння на $-\frac{T}{135}$:

$-\frac{3T}{135}=1$

Далі, можемо спростити рівняння, помноживши обидві частини на $\frac{-135}{3}$:

$T=45$

Отже, період піврозпаду радіоактивного елемента становить 45 років.