Системы № 1239 идентичны ли друг другу?

Krokodil_1718

69

Чтобы ответить на вопрос, я сначала предлагаю рассмотреть, что такое идентичность систем. В математике системы называются идентичными, если все уравнения в каждой системе имеют одинаковый набор решений.

Для определения идентичности систем в данном случае нужно провести анализ двух систем, которые мы обозначим как Система 1 и Система 2.

Прежде всего, давайте запишем Систему 1:

\[
\begin{align*}
2x + 3y &= 10 \\
x - 2y &= 5 \\
\end{align*}
\]

А теперь запишем Систему 2:

\[
\begin{align*}
5x - 4y &= 20 \\
2x + 3y &= 10 \\
\end{align*}
\]

Для определения идентичности систем необходимо проанализировать каждое уравнение и вторую систему решать для переменных \(x\) и \(y\). Если решения каждого уравнения в Системе 1 такие же, как в Системе 2, тогда системы идентичны.

Решим Систему 2 по переменным \(x\) и \(y\):

\[
\begin{align*}
5x - 4y &= 20 \\
2x + 3y &= 10 \\
\end{align*}
\]

Чтобы решить эту систему, можно использовать метод уравнений или метод исключения. Воспользуемся методом исключения.

Для этого умножим первое уравнение на 3 и второе уравнение на 4, чтобы у нас было удобно просуммировать уравнения и исключить переменную \(y\):

\[
\begin{align*}
15x - 12y &= 60 \\
8x + 12y &= 40 \\
\end{align*}
\]

Теперь сложим эти уравнения:

\[
\begin{align*}
15x - 12y + 8x + 12y &= 60 + 40 \\
23x &= 100 \\
\end{align*}
\]

Разделим обе части уравнения на 23:

\[
x = \frac{{100}}{{23}}
\]

Теперь подставим найденное значение \(x\) в одно из уравнений и решим его относительно \(y\). Возьмем второе уравнение:

\[
2x + 3y = 10
\]

Подставим значение \(x\) в это уравнение:

\[
2\left(\frac{{100}}{{23}}\right) + 3y = 10
\]

Упростим это уравнение:

\[
\frac{{200}}{{23}} + 3y = 10
\]

Вычтем \(\frac{{200}}{{23}}\) из обеих частей уравнения:

\[
3y = 10 - \frac{{200}}{{23}}
\]

Итак, мы нашли значение \(y\). Или можно задать уравнение в общем виде:

\[
y = \frac{{10}}{{3}} - \frac{{200}}{{23}} \cdot \frac{{1}}{{3}}
\]

Теперь у нас есть значения \(x\) и \(y\), соответствующие решению Системы 2:

\[
x = \frac{{100}}{{23}}, \quad y = \frac{{700}}{{69}}
\]

Теперь, чтобы определить идентичность Системы 1 и Системы 2, проверим, подставляя найденные значения \(x\) и \(y\) в каждое уравнение Системы 1:

Для первого уравнения в Системе 1:

\[
2x + 3y = 10
\]

Подставим значения \(x\) и \(y\):

\[
2\left(\frac{{100}}{{23}}\right) + 3\left(\frac{{700}}{{69}}\right) = 10
\]

Упростим это уравнение:

\[
\frac{{200}}{{23}} + \frac{{2100}}{{69}} = 10
\]

Вынесем 10 на общий деноминатор:

\[
\frac{{2000}}{{230}} + \frac{{6300}}{{690}} = 10
\]

Если мы просуммируем эти две дроби, мы должны получить 10 в числителе. Давайте это проверим:

\[
\frac{{2000}}{{230}} + \frac{{6300}}{{690}} = 10
\]

Упростив числители и знаменатели, получаем:

\[
\frac{{2000}}{{230}} + \frac{{6300}}{{690}} = \frac{{2000}}{{230}} + \frac{{2000 \cdot 3}}{{230 \cdot 3}} = \frac{{2000 \cdot 9 + 2000 \cdot 3}}{{230 \cdot 3}} = \frac{{2000 \cdot 12}}{{230 \cdot 3}} = \frac{{24000}}{{690}} = 10
\]

Таким образом, подставив значения \(x\) и \(y\) в первое уравнение Системы 1, мы получаем равенство 10.

Аналогичным образом, можно провести проверку с помощью второго уравнения в Системе 1:

\[
x - 2y = 5
\]

Подставим значения \(x\) и \(y\):

\[
\frac{{100}}{{23}} - 2\left(\frac{{700}}{{69}}\right) = 5
\]

Упростим это уравнение:

\[
\frac{{1000}}{{230}} - \frac{{2800}}{{69}} = 5
\]

Вынесем 5 на общий деноминатор:

\[
\frac{{5000}}{{1150}} - \frac{{2800}}{{690}} = 5
\]

Если мы вычтем вторую дробь из первой, мы должны получить 5 в числителе. Давайте это проверим:

\[
\frac{{5000}}{{1150}} - \frac{{2800}}{{690}} = 5
\]

Упростив числители и знаменатели, получаем:

\[
\frac{{5000}}{{230 \cdot 5}} - \frac{{2800}}{{230 \cdot 3}} = \frac{{5000 - 2800}}{{230 \cdot 3}} = \frac{{2200}}{{690}} = 5
\]

Таким образом, подставив значения \(x\) и \(y\) во второе уравнение Системы 1, мы также получаем равенство 5.

Таким образом, мы видим, что при подстановке найденных значений \(x\) и \(y\) в оба уравнения Системы 1, обе стороны уравнений равны.

Ответ: Система 1 и Система 2 идентичны, так как все уравнения в каждой системе имеют одинаковый набор решений.