Яким чином можна зобразити графік рівняння та визначити площу фігури, що обмежена лініями, (x-1)^2 + (y-1)^2 =1 і y=1?

Pechenye

55

Чтобы нарисовать график данного уравнения и определить площадь фигуры, ограниченной заданными линиями, нужно выполнить несколько шагов.

1. Начнем с уравнения \((x-1)^2 + (y-1)^2 = 1\). Это уравнение представляет собой круг с центром в точке (1, 1) и радиусом 1.

2. Второе уравнение \(y = 1\) является горизонтальной прямой, проходящей через точку (0, 1) и параллельной оси X.

3. Чтобы найти точки пересечения этих двух графиков, подставим \(y = 1\) в первое уравнение. Получим:

\((x-1)^2 + (1-1)^2 = 1 \\
(x-1)^2 = 1 \\
x-1 = \pm 1 \\
x = 2 \text{ или } x = 0\)

Таким образом, точки пересечения находятся в точках (2, 1) и (0, 1).

4. Теперь нарисуем график. Отметим центр круга в точке (1, 1) и нарисуем окружность с радиусом 1. Также проведем горизонтальную линию \(y = 1\).

5. Так как фигура ограничена линиями, мы можем вычислить площадь двумя способами:
- Воспользуемся формулой для площади круга, так как фигура имеет форму полукруга. Площадь полукруга равна половине площади круга.
- Вычтем площадь треугольника, образованного пересечением круга и горизонтальной прямой \(y = 1\).

6. Площадь полукруга можно вычислить по формуле: \(S_{\text{полукруга}} = \frac{1}{2} \pi r^2\), где \(r\) - радиус. В этом случае, радиус равен 1, поэтому \(S_{\text{полукруга}} = \frac{1}{2} \pi \cdot 1^2 = \frac{1}{2} \pi\).

7. Площадь треугольника можно вычислить по формуле: \(S_{\text{треугольника}} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h\), где \(a\) - основание треугольника, а \(h\) - высота. Основание треугольника равно \(a = 2 - 0 = 2\), а высота равна \(h = 1 - 1 = 0\). Так как высота равна 0, то и площадь треугольника также будет равна 0.

8. Теперь найдем площадь фигуры, вычтем площадь треугольника из площади полукруга: \(S_{\text{фигуры}} = S_{\text{полукруга}} - S_{\text{треугольника}} = \frac{1}{2} \pi - 0 = \frac{1}{2} \pi\).

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями \((x-1)^2 + (y-1)^2 = 1\) и \(y = 1\), равна \(\frac{1}{2} \pi\).