Яким чином зміниться швидкість руху космічного корабля при подвоєнні радіуса колової орбіти?

Загадочный_Эльф

26

Как мы знаем, радиус коловой орбиты влияет на скорость космического корабля на этой орбите. Чтобы рассмотреть, как изменится скорость при удвоении радиуса коловой орбиты, давайте воспользуемся законом сохранения механической энергии.

Закон сохранения механической энергии гласит, что в любой системе без диссипативных сил (таких как трение) механическая энергия остается постоянной. В случае космического корабля, механическая энергия состоит из кинетической энергии (связанной со скоростью) и потенциальной энергии (связанной с высотой над поверхностью орбиты).

На коловой орбите потенциальная энергия равна нулю, поскольку точка отсчета находится на бесконечности. Таким образом, механическая энергия корабля связана только с его кинетической энергией.

Мы можем использовать формулу для кинетической энергии:

\[E_k = \frac{1}{2}mv^2\]

где \(E_k\) - кинетическая энергия, \(m\) - масса корабля и \(v\) - его скорость.

Из закона сохранения механической энергии следует, что механическая энергия до изменения орбиты должна быть равна механической энергии после изменения орбиты. Обозначим радиус орбиты до изменения как \(r_1\), а радиус орбиты после изменения как \(r_2\). Тогда мы можем записать:

\[\frac{1}{2}m v_1^2 = \frac{1}{2}m v_2^2\]

где \(v_1\) - скорость корабля на первой орбите и \(v_2\) - скорость корабля на второй орбите.

Теперь рассмотрим соотношение между скоростью и радиусом орбиты. Для круговой орбиты мы знаем, что центростремительное ускорение \(a_c\) связано со скоростью \(v\) и радиусом орбиты \(r\) следующим образом:

\[a_c = \frac{v^2}{r}\]

Таким образом, мы можем переписать нашу формулу для механической энергии, используя это соотношение:

\[\frac{1}{2}m v_1^2 = \frac{1}{2}m v_2^2 = \frac{1}{2}m \left(\frac{v_1^2}{r_2}\right) = \frac{m v_1^2}{2r_2}\]

Теперь у нас есть формула, связывающая скорость и радиус орбиты после изменения.

Подвоение радиуса орбиты означает увеличение его в два раза. То есть \(r_2 = 2r_1\). Подставим это значение в нашу формулу:

\[\frac{1}{2}m v_1^2 = \frac{m v_1^2}{2(2r_1)} = \frac{m v_1^2}{4r_1}\]

Отсюда мы видим, что скорость корабля на второй орбите будет в два раза меньше скорости корабля на первой орбите. Таким образом, при удвоении радиуса коловой орбиты скорость руха космического корабля уменьшится вдвое.