Яким є кут А трикутника АВС, якщо координати його вершин - A(1;0;2), B(1;-4;3), C(-1;-1;3)?

Артем_1069

66

Для решения этой задачи нам понадобятся некоторые знания из геометрии и алгебры. Чтобы найти угол А треугольника АВС, мы воспользуемся формулой для косинуса угла между векторами.

Для начала, найдем векторы AB и AC. Для этого вычтем координаты вершины B из вершины A и вершины C из вершины A:

\[\overrightarrow{AB} = B - A = (1;-4;3) - (1;0;2) = (0;-4;1)\]
\[\overrightarrow{AC} = C - A = (-1;-1;3) - (1;0;2) = (-2;-1;1)\]

Теперь посчитаем скалярное произведение этих векторов:

\[\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = (0;-4;1) \cdot (-2;-1;1) = 0 \cdot (-2) + (-4) \cdot (-1) + 1 \cdot 1 = 4 + 1 + 1 = 6\]

Далее, найдем длины векторов AB и AC. Для этого применим формулу длины вектора:

\(|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{0^2 + (-4)^2 + 1^2} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17}\)
\(|\overrightarrow{AC}| = \sqrt{(-2)^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}\)

Теперь мы можем найти косинус угла А с помощью формулы для косинуса:

\[\cos(A) = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{AC}|} = \frac{6}{\sqrt{17} \cdot \sqrt{6}} = \frac{6}{\sqrt{102}}\]

Наконец, найдем сам угол А с помощью обратной функции косинуса (арккосинуса):

\[A = \arccos\left(\frac{6}{\sqrt{102}}\right)\]

Округлим ответ до нескольких десятичных знаков:

\[A \approx 1.157\]

Итак, угол А треугольника АВС примерно равен 1.157 радиан (или приблизительно 66.3 градусов).