Найдите скалярное произведение следующих векторов в задаче с ромбом, где короткая диагональ равна стороне длиной

Змея

41

Давайте начнем с определения скалярного произведения векторов. Скалярное произведение двух векторов равно произведению модуля одного вектора на проекцию другого вектора на первый вектор.

Для первого пункта задачи, нам нужно найти скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{DC}\) и \(\overrightarrow{AD}\).

Для начала, найдем модуль векторов. Модуль вектора можно найти, используя формулу \(|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(x2-x1)^2+(y2-y1)^2}\), где \(A(x1, y1)\) и \(B(x2, y2)\).

Итак, длина вектора \(\overrightarrow{DC}\) равна длине короткой диагонали ромба, то есть 56 см.

Теперь найдем проекцию вектора \(\overrightarrow{AD}\) на вектор \(\overrightarrow{DC}\). Если векторы пересекаются под углом \(\theta\), то проекция вектора \(\overrightarrow{AD}\) на вектор \(\overrightarrow{DC}\) равна \(|\overrightarrow{AD}|\cdot\cos(\theta)\).

Так как ромб - это параллелограмм, то угол между \(\overrightarrow{AD}\) и \(\overrightarrow{DC}\) составляет 90 градусов. Поэтому, проекция будет равна просто длине вектора \(\overrightarrow{AD}\), то есть 56 см.

Теперь мы можем найти скалярное произведение:
\[ \overrightarrow{DC} \cdot \overrightarrow{AD} = |\overrightarrow{DC}| \cdot |\overrightarrow{AD}| \cdot \cos(\theta) = 56 \text{ см} \cdot 56 \text{ см} \cdot 1 = 3136 \text{ см}^2. \]

Таким образом, скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{DC}\) и \(\overrightarrow{AD}\) равно 3136 см².

Для второго пункта задачи, найдем скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{OA}\) и \(\overrightarrow{OB}\).

Аналогично предыдущему пункту, найдем модули векторов. Длина вектора \(\overrightarrow{OA}\) равна длине стороны ромба, то есть 56 см. Длина вектора \(\overrightarrow{OB}\) также равна 56 см.

Угол между векторами \(\overrightarrow{OA}\) и \(\overrightarrow{OB}\) также составляет 90 градусов, так как ромб является параллелограммом, а его диагонали перпендикулярны.

Теперь мы можем найти скалярное произведение:
\[ \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = |\overrightarrow{OA}| \cdot |\overrightarrow{OB}| \cdot \cos(\theta) = 56 \text{ см} \cdot 56 \text{ см} \cdot 1 = 3136 \text{ см}^2. \]

Таким образом, скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{OA}\) и \(\overrightarrow{OB}\) также равно 3136 см².

И, наконец, для третьего пункта задачи, нам нужно найти скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{DC}\) и \(\overrightarrow{DA}\).

Мы уже знаем, что модуль вектора \(\overrightarrow{DC}\) равен 56 см.

Чтобы найти проекцию вектора \(\overrightarrow{DA}\) на вектор \(\overrightarrow{DC}\), нам нужно найти угол между ними. По свойству ромба, в такой ситуации, угол между векторами будет равен 60 градусов.

Теперь мы можем найти скалярное произведение:
\[ \overrightarrow{DC} \cdot \overrightarrow{DA} = |\overrightarrow{DC}| \cdot |\overrightarrow{DA}| \cdot \cos(\theta) = 56 \text{ см} \cdot 56 \text{ см} \cdot \cos(60) = 1568 \text{ см}^2. \]

Таким образом, скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{DC}\) и \(\overrightarrow{DA}\) равно 1568 см².

Надеюсь, это подробное объяснение помогло вам понять, как найти скалярное произведение векторов в задаче с ромбом. Если у вас остались вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их!