Який радіус вписаного кола в трикутнику МРК, якщо кут Р дорівнює 60º і відстань від центра цього кола до вершини

Белочка

10

Для решения этой задачи нам необходимо использовать свойства вписанного круга и теорему о треугольнике.

1. Свойство вписанного круга: Вписанный круг в треугольник будет касаться всех трех сторон треугольника.

2. Теорема о треугольнике: Если биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные смежным сторонам, то точка деления лежит на вписанной окружности.

Используя данный нам угол Р равный 60º и информацию о расстоянии от центра вписанного круга до вершины Р равное 9,8 см, мы можем приступить к решению задачи:

1. Обозначим радиус вписанного круга как r.

2. Расстояние от центра круга до вершины Р, равное 9,8 см, является биссектрисой угла РМК.

3. По теореме о треугольнике, мы можем записать пропорцию:
\(\frac{{RM}}{{RP}} = \frac{{r}}{{9.8}}\)

4. Так как кут Р равен 60º, то угол М равен 120º (так как углы смежные).

5. Расстояние МК можно найти по теореме синусов:
\(\frac{{MK}}{{\sin(120)}} = \frac{{RP}}{{\sin(60)}}\)

6. Из симметрии треугольника МРК следует, что МК равно MK, поэтому мы можем написать \(MK = RP\).

7. Из уравнений 5 и 6 мы получаем: \(\frac{{MK}}{{\sin(120)}} = \frac{{MK}}{{\sin(60)}}\)
Это означает, что \(\sin(120) = \sin(60)\), что является правдой.

8. Таким образом, у нас есть система уравнений:
\(\frac{{MK}}{{\sin(120)}} = \frac{{MK}}{{\sin(60)}}\) и \(\frac{{MK}}{{\sin(120)}} = \frac{{r}}{{9.8}}\)

9. Из уравнений 7 и 8 мы получаем: \(\frac{{MK}}{{\sin(60)}} = \frac{{r}}{{9.8}}\)
Сокращая \(\sin(60)\) на обеих сторонах, мы получим следующее уравнение:
\(MK = \frac{{r}}{{9.8}} * \sin(60)\)

10. Мы знаем, что \(\sin(60) = \frac{{\sqrt{3}}}{2}\), подставляя это значение в уравнение 9, получаем:
\(MK = \frac{{r}}{{9.8}} * \frac{{\sqrt{3}}}{2}\)

11. Так как МК равно RP, мы можем использовать значение RP из условия задачи, которое равно 9.8 см.

12. Мы знаем, что \(MK = RP = 9.8\), поэтому мы можем записать следующее уравнение:
\(9.8 = \frac{{r}}{{9.8}} * \frac{{\sqrt{3}}}{2}\)

13. Решая уравнение 12 относительно r, получаем:
\(r = \frac{{(9.8)^2}}{{\frac{{\sqrt{3}}}{2}}}\)

14. Вычисляя значение r, получаем:
\(r \approx 33.95\) см.

Таким образом, радиус вписанного круга в треугольнике МРК составляет около 33.95 см.