Яким є нескінченно періодичний десятковий дріб, уявлюючи 11/15 у такому вигляді? Як визначити його період?

Vechnaya_Zima

51

Щоб виявити період нескінченно періодичного десяткового дробу, який випливає з дробу 11/15 у вигляді десяткового числа, спочатку перетворимо дріб 11/15 на десяткове число.

Для цього, поділимо чисельник дробу (11) на знаменник (15):

\[ \frac{11}{15} = 0.7333... \]

Отже, десяткове число, яке відповідає дробу 11/15, рівне 0.7333... (де крапка з трема троєчками позначає, що цифри 3 повторюються нескінченно).

Щоб визначити період цього числа, зробимо наступний крок. Переведемо 0.7333... у рівняння.

Позначимо \( x = 0.7333... \).

Зауважте, що ступінь десятки зменшується на 1 при переході від x до 10x. Тому, якщо помножити обидві частини рівняння на 10, отримаємо:

\[ 10x = 7.3333... \]

Тепер, щоб визначити період, відніміть початкову рівність від цієї останньої:

\[ 10x - x = 7.3333... - 0.7333... \]

\[ 9x = 6.6 \]

Тепер поділимо обидві частини на 9:

\[ x = \frac{6.6}{9} \]

\[ x = 0.7333... \]

Таким чином, ми отримали, що \( x = 0.7333... \) і \( x = \frac{6.6}{9} \).

Ми можемо легко помітити, що \( x \) рівне скінченному десятковому числу \( \frac{6.6}{9} = \frac{22}{30} = \frac{11}{15} \), що збігається з нашим першим виразом.

Отже, ми можемо зробити висновок, що період десяткового числа 0.7333... (породженого дробом 11/15) складається з цифри 3, яка повторюється нескінченно.

Округлюючи відповідь до двох знаків після коми для значення десяткового числа, ми отримуємо 0.73 як наближене значення для числа 11/15.