Яким є переміщення мотоцикліста за перші 7 секунд його руху, враховуючи графік залежності швидкості від часу?

Zolotoy_Lord

62

Для того, чтобы найти перемещение мотоциклиста за первые 7 секунд его движения, нужно проинтегрировать функцию скорости по времени на этом интервале. Для этого нам нужен график зависимости скорости мотоциклиста от времени. Так как у вас график уже дан, давайте взглянем на него и проанализируем его:

\[ v(t) = 3t^2 - 6t \]

График показывает, что скорость мотоциклиста изменяется со временем и представлена квадратичной функцией. Давайте проинтегрируем эту функцию по времени от 0 до 7, чтобы найти перемещение за этот интервал. Интегрируя функцию скорости, мы найдем функцию перемещения:

\[ s(t) = \int (3t^2 - 6t) dt \]

Для начала проинтегрируем каждый член функции скорости по отдельности:

\[ \int 3t^2 dt = t^3 + C_1 \]
\[ \int -6t dt = -3t^2 + C_2 \]

где \( C_1 \) и \( C_2 \) - постоянные интегрирования.

Теперь объединим полученные результаты:

\[ s(t) = t^3 + C_1 - 3t^2 + C_2 \]

Теперь нам нужно найти постоянные интегрирования \( C_1 \) и \( C_2 \), используя условие, что перемещение мотоциклиста равно нулю в начальный момент времени (т.е. при t = 0, s = 0). Подставив эти значения, получим систему уравнений:

\[ 0 = 0^3 + C_1 - 3(0)^2 + C_2 \]
\[ 0 = C_1 + C_2 \]

Обратите внимание, что при интегрировании функции, постоянные интегрирования могут быть опущены, так как их значение не влияет на конечный результат.

Теперь мы можем написать функцию перемещения:

\[ s(t) = t^3 - 3t^2 \]

Подставляя t = 7 в эту функцию, мы найдем перемещение мотоциклиста за первые 7 секунд его движения:

\[ s(7) = 7^3 - 3(7)^2 \]

Подсчитывая значение, получим ответ:

\[ s(7) = 343 - 3(49) = 343 - 147 = 196 \]

Таким образом, перемещение мотоциклиста за первые 7 секунд его движения составляет 196 единиц.