Яким є радіус круга, що дотикається обох перпендикулярних хорд кола А В та C D і має спільний центр з даною колом?

Магический_Лабиринт

43

Давайте рассмотрим данную задачу более подробно. Мы имеем круг с центром O, и две перпендикулярных хорды AB и CD, которые касаются круга в точках P и Q соответственно. Обозначим радиус круга как r.

Так как хорды AB и CD перпендикулярны, то центр окружности O, точка касания P и точка касания Q образуют прямоугольный треугольник OPQ.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник OPQ. Мы можем заметить, что PO и QO являются радиусами круга, а OP и OQ - перпендикулярными хордами круга. Так как радиус круга перпендикулярен хорде к кругу, мы можем использовать свойство о пересекающихся хордах, согласно которому продукт длин отрезков хорды, образованных внутри и внешних относительно центра круга, равен квадрату радиуса.

Таким образом, у нас есть следующее равенство:

\( OP \cdot OQ = AP \cdot BP \)

Заметим, что AP и BP - это половины длин перпендикулярных хорд AB и CD соответственно. Так как хорды AB и CD имеют одну и ту же длину, мы можем обозначить ее как 2a.

Теперь мы можем записать равенство следующим образом:

\( OP \cdot OQ = (2a/2) \cdot (2a/2) = a^2 \)

Так как OP и OQ - это радиусы круга, они равны r. Значит, мы можем записать равенство как:

\( r^2 = a^2 \)

Далее, мы можем решить это уравнение относительно радиуса круга. Применяя квадратный корень к обеим сторонам уравнения, мы получаем:

\( r = a \)

Таким образом, радиус круга, который касается обоих перпендикулярных хорд и имеет общий центр с данным кругом, равен половине длины любой из перпендикулярных хорд.