Яким є скалярний добуток векторів АВ в рівносторонньому трикутнику, якщо сторона АВ дорівнює

Yachmenka

49

В рівносторонньому трикутнику всі сторони рівні між собою. Тому, якщо сторона АВ має довжину \(a\), то всі сторони трикутника також мають довжину \(a\).

Для вектора АВ ми можемо визначити координати на площині. Нехай точка А має координати (0, 0), а точка В має координати (a, 0). Тоді вектор АВ можна записати як (a, 0) - (0, 0) = (a, 0).

Так як скалярний добуток векторів обчислюється за формулою \(АВ = |А| \cdot |В| \cdot \cos(\Theta)\), де \(|А|\) і \(|В|\) - довжини векторів, а \(\Theta\) - кут між векторами, значення скалярного добутку залежить від кута між векторами.

У рівносторонньому трикутнику кожен кут дорівнює 60 градусам, оскільки всі сторони рівні. Тому, косинус кута \(\Theta\) буде рівним \(\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}\).

Застосуємо ці значення до формули скалярного добутку:

\(АВ = |А| \cdot |В| \cdot \cos(\Theta) = a \cdot a \cdot \frac{1}{2} = \frac{a^2}{2}\).

Отже, скалярний добуток векторів АВ в рівносторонньому трикутнику становить \(\frac{a^2}{2}\).