Якій довжині має бути маятник, якщо його коливання описуються рівнянням x=0,04 sin πt? (Усі величини в рівнянні

Крокодил

29

Для решения данной задачи нам нужно определить длину маятника, если его колебания описываются уравнением x = 0.04 sin πt, где x - смещение маятника в момент времени t.

Уравнение колебаний данного маятника имеет форму x = A sin (ωt + φ), где A - амплитуда колебаний, ω - угловая скорость, т - время, φ - начальная фаза колебаний.

В нашем случае угловая скорость ω = π, амплитуда A = 0.04, начальная фаза φ равняется начальному смещению маятника в момент времени t = 0.

Мы можем сравнить данное уравнение с общим уравнением колебаний, чтобы определить необходимые параметры.

Общее уравнение колебаний имеет вид x = A sin (ωt + φ).

Таким образом, мы можем сделать следующее сравнение:

A sin (ωt + φ) = 0.04 sin πt.

Выбирая синусы на обеих сторонах уравнения, получим:

A(ωt + φ) = πt.

Раскрыв скобки, получим:

Aωt + Aφ = πt.

Теперь, сравнивая коэффициенты при t и константах в обоих частях уравнения, мы можем выделить два уравнения:

Aω = π -> 0.04 * π = π.

Aφ = 0.

Из уравнения Aω = π мы можем найти угловую скорость ω:

ω = π / A.

Подставляя значение амплитуды A = 0.04, получаем:

ω = π / 0.04 = 25π.

Теперь, из уравнения Aφ = 0 мы видим, что произведение амплитуды A на начальную фазу φ должно равняться нулю. Это означает, что либо A = 0, либо φ = 0.

Так как A ≠ 0 (поскольку амплитуда равна 0.04), то φ = 0.

Таким образом, начальная фаза φ равна нулю.

Теперь мы можем записать уравнение колебаний в виде x = A sin (ωt + φ):

x = 0.04 sin (25πt).

Для определения длины маятника нам следует установить соотношение между длиной и угловой скоростью колебаний маятника. Это можно сделать, используя следующую формулу:

T = 2π√(L/g),

где T - период колебаний, L - длина маятника, g - ускорение свободного падения (принимается равным 9.8 м/с²).

Угловая скорость ω, которую мы вычислили ранее, является просто отношением периода T к 2π:

ω = 2π / T.

Следовательно, мы можем выразить период T через угловую скорость ω:

T = 2π / ω.

Подставляя значение ω = 25π, получаем:

T = 2π / 25π = 2 / 25.

Теперь, зная период T колебаний маятника, мы можем определить длину L с использованием формулы:

T = 2π√(L/g).

Подставляя значение периода T = 2/25 и ускорения свободного падения g = 9.8, получаем:

2/25 = 2π√(L/9.8).

Теперь мы можем решить уравнение относительно неизвестной длины L.

Для этого вначале возведем обе части уравнения в квадрат:

(2/25)^2 = (2π√(L/9.8))^2.

После упрощения получим:

4/625 = 4π^2 * (L/9.8).

Далее, проведем действия по сокращению и упрощению:

1/625 = (π^2/9.8) * L.

Теперь выразим L, деля обе части уравнения на (π^2/9.8):

L = (1/625) * (9.8/π^2).

Вычислив числовое значение, получаем:

L = 0,0148 м.

Таким образом, для того чтобы маятник описывался уравнением x = 0.04 sin πt, его длина должна равняться 0,0148 метра.