Який кут утворює діагональ з меншою стороною прямокутника, якщо його сторони дорівнюють 1 см і корінь

Путник_По_Времени

51

Задача: Який кут утворює діагональ з меншою стороною прямокутника, якщо його сторони дорівнюють 1 см і корінь із 3 см?

Для початку, давайте знайдемо довжину діагоналі прямокутника. Знаючи довжини його сторін, ми можемо скористатись теоремою Піфагора. Згідно з цією теоремою, квадрат довжини гіпотенузи (діагоналі) дорівнює сумі квадратів довжин катетів (сторін прямокутника).

\(c^2 = a^2 + b^2\)

Тут c - довжина діагоналі, а та b - довжини сторін прямокутника.

Замінимо дані у нашій формулі:

\(c^2 = 1^2 + (\sqrt{3})^2\)

Звідси отримуємо:

\(c^2 = 1 + 3\)

\(c^2 = 4\)

Тепер, щоб знайти довжину діагоналі, треба взяти квадратний корінь суми квадратів довжин катетів:

\(c = \sqrt{4} = 2\) см

Тепер ми знаємо довжину діагоналі прямокутника, яка дорівнює 2 см. Щоб знайти кут, який діагональ утворює з меншою стороною, нам знадобиться знати співвідношення між кутом і співвідношеннями сторін для прямокутних трикутників.

В прямокутних трикутниках, синус кута відноситься до сторони прямокутного трикутника, що є протилежною до цього кута, діленої на гіпотенузу. Отже, можемо скористатися співвідношенням:

\(\sin(\theta) = \frac{{\text{протилежна сторона}}}{{\text{гіпотенуза}}}\)

Знаючи довжини сторон прямокутника і діагоналі, можемо побудувати прямокутний трикутник, де діагональ виступає в якості гіпотенузи, а менша сторона є протилежною стороною до шуканого кута.

Так як шукаємо сам кут, перетворимо формулу на вигляд:

\(\theta = \arcsin\left(\frac{{\text{протилежна сторона}}}{{\text{гіпотенуза}}}\right)\)

Тобто,

\(\theta = \arcsin\left(\frac{{1}}{{2}}\right)\)

Для обчислення цього виразу, нам знадобиться калькулятор з функцією арксинусу (або синус^-1).

можете попросить школяра використати калькулятор (або користуватись калькулятором власного розробки)

Отримали значення:

\(\theta = \arcsin\left(\frac{{1}}{{2}}\right) \approx 30^\circ\)

Отже, кут, який утворює діагональ з меншою стороною прямокутника, становить приблизно \(30^\circ\).

Можете перевірити відповідь, порівнявши з кутами стандартного прямокутного трикутника, де одна з гострих кутів дорівнює \(45^\circ\). Ми бачимо, що \(30^\circ\) менше \(45^\circ\), тому наше відповідь є розумною з точки зору геометрічних відношень у прямокутних трикутниках.