Який кут утворює твірна конуса з висотою конуса, яка є удвічі коротшою?

Радуша_8904

57

Давайте решим данную задачу шаг за шагом.

Пусть \(h\) - высота конуса, а \(l\) - длина твёрдой образующей конуса.

Из условия известно, что длина твёрдой образующей в два раза короче, чем высота конуса, то есть \(l = \frac{h}{2}\).

Обратимся к определению твёрдой образующей конуса. Твёрдая образующая — это отрезок прямой, соединяющий вершину конуса с точкой на окружности основания.

Кроме того, твёрдая образующая перпендикулярна к оси симметрии конуса и делит его на две равные части.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, где \(h\) - гипотенуза, \(l\) - катет.

Используя теорему Пифагора, получаем:

\[l^2 + r^2 = h^2\],

где \(r\) - радиус основания конуса.

Подставив значение \(l = \frac{h}{2}\), получаем:

\[\left(\frac{h}{2}\right)^2 + r^2 = h^2\].

Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

\[\frac{h^2}{4} + r^2 = h^2\].

Умножим обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от знаменателя:

\[h^2 + 4r^2 = 4h^2\].

Перенесём все слагаемые влево:

\[3h^2 - 4r^2 = 0\].

Распишем этот квадратный трёхчлен как произведение разностей квадратов:

\[(\sqrt{3} h - 2r)(\sqrt{3} h + 2r) = 0\].

Таким образом, получается два возможных варианта:

\[\sqrt{3} h - 2r = 0 \quad \text{или} \quad \sqrt{3} h + 2r = 0\].

Для симметрии формулы возьмём первое уравнение:

\[\sqrt{3} h - 2r = 0\].

Выразим \(r\):

\[2r = \sqrt{3} h\].

Делим оба члена на 2:

\[r = \frac{\sqrt{3} h}{2}\].

Теперь, давайте найдем значение тангенса и, следовательно, значения самого угла:

\[\tan\alpha = \frac{r}{l} = \frac{\frac{\sqrt{3} h}{2}}{\frac{h}{2}} = \sqrt{3}\].

Известно, что угол между твёрдой образующей и осью симметрии конуса равняется \(180^\circ\), поэтому угол \(\alpha\) составляет половину этого значения:

\[\alpha = \frac{180}{2} = 90\^\circ\].

Ответ: Угол между твёрдой образующей и осью симметрии конуса составляет \(90\^\circ\).