Який об єм конуса з висотою МО, якщо об єм циліндра дорівнює 24 куб. см, а точка М - середина осі ОО1?

Pushistik

41

Для решения данной задачи, нам необходимо использовать знания о свойствах конусов и цилиндров.

При анализе условия задачи, мы можем заметить, что точка М является серединой оси конуса. Это означает, что высота конуса является равной половине высоты цилиндра, то есть \(MO = \frac{1}{2}OO_1\).

Следуя дальше, мы можем использовать формулу для объема цилиндра, которая гласит:

\[V_{\text{цил}} = S_{\text{основания}} \times \text{высота}\]

Мы знаем, что объем цилиндра равен 24 кубическим сантиметрам, поэтому:

\[24 = S_{\text{основания}} \times \text{высота}_{\text{цил}}\]

Однако, нам не дано значение площади основания цилиндра, что делает невозможным найти высоту цилиндра напрямую.

Однако, с помощью знания о жестких связях между конусами и цилиндрами, мы можем использовать соотношение между объемами конуса и цилиндра.

Связь между объемом цилиндра и конуса с одинаковыми основаниями и высотами состоит в том, что объем конуса равен трети объема цилиндра.

Используем эту связь, чтобы составить уравнение:

\[\frac{1}{3} V_{\text{цил}} = \frac{1}{3} S_{\text{основания}} \times \text{высота}_{\text{кон}}\]

Подставляем известные значения:

\[\frac{1}{3} \times 24 = \frac{1}{3} S_{\text{основания}} \times \text{высота}_{\text{кон}}\]

Упрощаем уравнение:

\[8 = S_{\text{основания}} \times \text{высота}_{\text{кон}}\]

Теперь у нас есть уравнение, связывающее площадь основания конуса (\(S_{\text{основания}}\)) с его высотой (\(\text{высота}_{\text{кон}}\)). Однако, наша задача - найти объем конуса, а не его высоту.

К счастью, у нас есть второе знание о конусах, а именно связь между объемом конуса и объемом цилиндра с одинаковыми высотами: объем конуса равен трети объема цилиндра.

Мы уже знаем, что объем цилиндра равен 24 кубическим сантиметрам, поэтому, чтобы найти объем конуса, мы можем воспользоваться формулой:

\[V_{\text{кон}} = \frac{1}{3} \times V_{\text{цил}}\]

Подставляем известное значение объема цилиндра:

\[V_{\text{кон}} = \frac{1}{3} \times 24\]

Выполняем вычисления:

\[V_{\text{кон}} = 8\]

Таким образом, объем конуса равен 8 кубическим сантиметрам.