Який є об єм піраміди, яка має рівнобедрений прямокутний трикутник як основу, де катет дорівнює 4 см, бічні грани
Який є об"єм піраміди, яка має рівнобедрений прямокутний трикутник як основу, де катет дорівнює 4 см, бічні грани піраміди є перпендикулярними до площини основи і третя грань утворює кут 45° з площиною основи?
Таинственный_Рыцарь 26
Щоб знайти об"єм піраміди, необхідно знати площу основи та висоту піраміди. Давайте спочатку знайдемо площу основи.Відомо, що основа піраміди - рівнобедрений прямокутний трикутник, де катет дорівнює 4 см. Згідно визначення, площа прямокутного трикутника рівна половині добутку його катетів. Оскільки наш трикутник рівнобедрений, то протилежні катети мають однакову довжину, тому площу можна знайти за формулою:
\[S_{\text{основи}} = \frac{1}{2} \times a \times b,\]
де \(a\) і \(b\) - катети прямокутного трикутника.
Підставляючи відомі значення, отримуємо:
\[S_{\text{основи}} = \frac{1}{2} \times 4 \, \text{см} \times 4 \, \text{см} = 8 \, \text{см}^2.\]
Тепер давайте знайдемо висоту піраміди. За визначенням, висота піраміди - це відстань від вершини піраміди до площини основи, а вона утворює кут 45° з площиною основи. Так як ми знаємо дві сторони трикутника з бази піраміди (катети), ми можемо використати теорему Піфагора для знаходження висоти піраміди:
\[h = \sqrt{a^2 + b^2},\]
де \(h\) - висота, \(a\) і \(b\) - катети рівнобедреного прямокутного трикутника.
Підставляючи відомі значення, отримуємо:
\[h = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \, \text{см}.\]
Отже, ми знайшли площу основи і висоту піраміди. Відомо, що об"єм піраміди можна знайти за формулою:
\[V = \frac{1}{3} \times S_{\text{основи}} \times h,\]
де \(V\) - об"єм піраміди, \(S_{\text{основи}}\) - площа основи, \(h\) - висота піраміди.
Підставляючи відомі значення, отримуємо:
\[V = \frac{1}{3} \times 8 \, \text{см}^2 \times 4\sqrt{2} \, \text{см} = \frac{32}{3} \sqrt{2} \, \text{см}^3.\]
Таким чином, об"єм піраміди дорівнює \(\frac{32}{3} \sqrt{2} \, \text{см}^3\).