Який периметр подібного трикутника, якщо сума його найкоротшої і найдовшої сторони дорівнює

Мурчик_8130

29

Сума його найкоротшої і найдовшої сторони дорівнює \(19\) см. Для розв"язання цієї задачі ми будемо використовувати принцип подібності трикутників.

Перш ніж дізнатися периметр подібного трикутника, потрібно з"ясувати, які властивості мають подібні трикутники. Два трикутники є подібними, якщо їх внутрішні кути однакові, а відношення довжин їх сторін однакове. З цими властивостями ми зможемо розв"язати задачу.

Нехай ми маємо два подібних трикутники: перший трикутник з найкоротшою стороною \(x\) см і найдовшою стороною \(y\) см, і другий трикутник з найкоротшою стороною \(a\) см і найдовшою стороною \(b\) см.

Згідно з умовою задачі, ми знаємо, що сума найкоротшої і найдовшої сторін першого трикутника дорівнює \(19\) см. Тобто, ми маємо рівність: \(x + y = 19\).

Також, ми знаємо, що трикутники є подібними, тому відношення довжин сторін одного трикутника до довжин сторін іншого трикутника має бути однаковим. У нашому випадку, ми можемо записати наступні відношення:

\(\frac{x}{a} = \frac{y}{b}\)

Знаючи рівність \(x + y = 19\), можемо використовувати її для заміни \(y\) у відношенні:

\(\frac{x}{a} = \frac{19 - x}{b}\)

Щоб знайти периметр трикутника, потрібно знайти суму всіх його сторін. Оскільки ми маємо два подібних трикутника, можемо скористатися відношенням довжин їх сторін.

Перший трикутник має сторони \(x\), \(y\) і необхідно знайти його периметр \(P_1\).

\[P_1 = x + y + \text{інші сторони}\]

Другий трикутник має сторони \(a\), \(b\) і його периметр буде \(P_2\).

\[P_2 = a + b + \text{інші сторони}\]

Ми можемо використати відношення подібних трикутників, щоб знайти значення \(P_1\) у відношенні до \(P_2\):

\(\frac{P_1}{P_2} = \frac{x + y + \text{інші сторони}}{a + b + \text{інші сторони}}\)

Знаючи відношення довжин сторін трикутників, ми можемо записати

\(\frac{P_1}{P_2} = \frac{x}{a} = \frac{y}{b}\)

Замінивши \(y\) за допомогою \(19 - x\), ми отримаємо

\(\frac{P_1}{P_2} = \frac{x}{a} = \frac{19 - x}{b}\)

З цього виразу ми можемо знайти відношення периметрів двох трикутників. Тоді, ми можемо вирішити цю рівняння для \(P_1\):

\(\frac{P_1}{P_2} = \frac{x}{a} = \frac{19 - x}{b}\)

Ми знаємо, що сума найкоротшої і найдовшої сторін першого трикутника дорівнює \(19\) см, тому ми можемо замінити \(y\) у виразі:

\(\frac{P_1}{P_2} = \frac{x}{a} = \frac{19 - x}{b}\)

Тепер ми можемо розв"язати це рівняння для \(P_1\):

\(\frac{P_1}{P_2} = \frac{x}{a} = \frac{19 - x}{b}\)

Звідси ми можемо записати:

\(P_1 = \frac{x}{a} \cdot P_2 = \frac{19 - x}{b} \cdot P_2\)

Звертаючись до условия задачи, де сума найякоротшей и найдлиннейшей стороны равна \(19\) см, получается \(x + y = 19\), мы можем изменить и выразить \(x\) в выражении:

\(x = 19 - y\)

Тепер мы можем подставить это в наше выражение:

\(P_1 = \frac{19 - y}{a} \cdot P_2\)

Итак, мы получили выражение для периметра подобного треугольника в зависимости от его сторон \(y\), \(a\) и \(b\):

\[P_1 = \frac{19 - y}{a} \cdot P_2\]

Обратите внимание, что в этом выражении \(P_2\) - это периметр подобного треугольника с другими сторонами \(a\) и \(b\), а \(P_1\) - это периметр треугольника с сторонами \(x\) и \(y\).

Мы можем привести пример, чтобы лучше понять это:

Предположим, что у нас есть два подобных треугольника, первый треугольник имеет стороны \(x = 4\) см и \(y = 7\) см, а второй треугольник имеет стороны \(a = 8\) см и \(b = 14\) см.

Мы можем найти периметр первого треугольника:

\[P_1 = \frac{19 - 7}{8} \cdot P_2\]

\[P_1 = \frac{12}{8} \cdot P_2 = \frac{3}{2} \cdot P_2\]

Если мы знаем, что периметр второго треугольника \(P_2\) равен, например, \(30\) см, мы можем найти периметр первого треугольника:

\[P_1 = \frac{3}{2} \cdot 30 = 45\]

Итак, периметр первого треугольника равен \(45\) см.

Это подходит для общего случая, когда мы знаем значения сторон подобных треугольников. Надеюсь, это объяснение помогло вам понять решение задачи.