Какова высота равнобедренной трапеции, если высота, проведенная из вершины тупого угла, разделяет основание на отрезки

Змей

67

Для решения данной задачи нам понадобятся определенные свойства равнобедренной трапеции.

Пусть \(ABCD\) - равнобедренная трапеция с основаниями \(AB\) и \(CD\), причем высота, проведенная из вершины \(D\) (тупого угла), разделяет основание \(AB\) на отрезки с длинами \(a\) и \(b\). Пусть также сторона \(BC\) имеет длину \(c\).

В равнобедренной трапеции основания параллельны, а боковые стороны равны. Поэтому, согласно условию задачи, имеем:

\(AB = CD\) (основания равны).

Известные значения:

\(a = 35\) (длина отрезка, на который разделяется основание).

\(b = 108\) (длина другого отрезка, на который разделяется основание).

\(c\) (длина боковой стороны).

Мы можем запустить процесс решения задачи, используя теоремы и формулы, связанные с равнобедренной трапецией.

1. Разобьем трапецию на два прямоугольных треугольника, проведя высоту \(DH\) из вершины \(D\):

\[
\begin{align*}
ADH & \text{ - прямоугольный треугольник},\\
BCH & \text{ - прямоугольный треугольник}.
\end{align*}
\]

2. В треугольнике \(ADH\), используя теорему Пифагора, можем найти длину стороны \(DH\):

\[
\begin{align*}
DH^2 + AH^2 & = AD^2\\
DH^2 + c^2 & = a^2.
\end{align*}
\]

Отсюда получаем:

\[
\begin{align*}
DH^2 & = a^2 - c^2,\\
DH & = \sqrt{a^2 - c^2}.
\end{align*}
\]

3. Теперь рассмотрим треугольник \(BCH\). Также используя теорему Пифагора, найдем длину стороны \(CH\):

\[
\begin{align*}
CH^2 + BH^2 & = BC^2\\
CH^2 + c^2 & = b^2.
\end{align*}
\]

Отсюда получаем:

\[
\begin{align*}
CH^2 & = b^2 - c^2,\\
CH & = \sqrt{b^2 - c^2}.
\end{align*}
\]

4. Возвращаемся к трапеции и применяем свойство равенства высот в равнобедренной трапеции. Так как \(DH = CH\), то:

\[
\sqrt{a^2 - c^2} = \sqrt{b^2 - c^2}.
\]

Мы можем избавиться от корней, возводя обе части уравнения в квадрат:

\[
a^2 - c^2 = b^2 - c^2.
\]

5. Теперь вычтем \(c^2\) из обеих частей и получим:

\[
a^2 = b^2.
\]

6. Вспомним, что исходная трапеция была равнобедренной, и значит, ее основания равны:

\[
AB = CD \Rightarrow a + b = CD + CD = 2CD \Rightarrow a = b.
\]

Таким образом, мы получаем:

\[
a^2 = b^2 = a^2 \Rightarrow a = b.
\]

Так как \(a = b\), мы можем заменить в уравнении \(a\) на \(b\):

\[
a = b = 35.
\]

Итак, высота равнобедренной трапеции равна \(35\) единицам длины.

Окончательный ответ: Высота равнобедренной трапеции, проведенная из вершины тупого угла, и разделяющая основание на отрезки длиной \(35\) и \(108\), составляет \(35\) единиц длины.