Який повинен бути найменший радіус плота, щоб світло від лампи у воді на глибині 10 метрів не виходило на поверхню?

Puma_6760

18

Для того, чтобы свет не выходил на поверхность воды, нам нужно задать условие полного внутреннего отражения. Полное внутреннее отражение происходит, когда угол падения светового луча на границу раздела двух сред превышает критический угол.

Критический угол можно выразить следующей формулой:

\[\sin\theta_c = \frac{1}{n}\]

где \(\theta_c\) - критический угол, а \(n\) - показатель преломления среды, из которой свет падает.

В данной задаче нам известен показатель преломления воды \(n = 1.33\). Мы хотим узнать, какой должен быть радиус плота воды \(r\), чтобы свет не выходил на поверхность, находясь на глубине 10 метров.

Угол падения можно найти, используя тригонометрический закон Синусов:

\[\sin\theta = \frac{h}{\sqrt{h^2 + r^2}}\]

где \(\theta\) - угол падения, а \(h\) - глубина. В этом случае \(h = 10\) метров.

Сравнивая угол падения с критическим углом, получаем следующее условие:

\[\frac{1}{1.33} \leq \frac{h}{\sqrt{h^2 + r^2}}\]

Теперь нам нужно найти минимальное значение \(r\), удовлетворяющее этому неравенству.

Решая это неравенство, получаем:

\[\sqrt{h^2 + r^2} \leq \frac{h}{1.33}\]

\[h^2 + r^2 \leq \left(\frac{h}{1.33}\right)^2\]

\[r^2 \leq \left(\frac{h}{1.33}\right)^2 - h^2\]

\[r \leq \sqrt{\left(\frac{h}{1.33}\right)^2 - h^2}\]

Подставляя \(h = 10\) метров, мы можем вычислить минимальное значение \(r\):

\[r \leq \sqrt{\left(\frac{10}{1.33}\right)^2 - 10^2}\]

\[r \leq \sqrt{\frac{100}{1.7689} - 100}\]

\[r \leq \sqrt{56.548 - 100}\]

\[r \leq \sqrt{-43.452}\]

Как видно, нам получился отрицательный аргумент под корнем. Таким образом, нет такого радиуса, при котором свет не выходил бы на поверхность.