Який радіус цієї планети, якщо її маса в три рази менша від маси Землі, а прискорення вільного падіння на її поверхні

Krasavchik

55

Для розв"язання цієї задачі потрібно використати закон всесвітнього тяжіння, який говорить, що прискорення вільного падіння на поверхні планети залежить від її маси та радіуса. Формула для цього закону виглядає наступним чином:

\[g = \frac{{G \cdot M}}{{R^2}}\]

де:
- \(g\) - прискорення вільного падіння на поверхні планети,
- \(G\) - гравітаційна стала (\(6.67 \times 10^{-11}\, \text{Н} \cdot \text{м}^2 / \text{кг}^2\)),
- \(M\) - маса планети,
- \(R\) - радіус планети.

За умовою задачі, маса даної планети в три рази менша від маси Землі, тобто \(M = \frac{1}{3} M_{\Earth}\), де \(M_{\Earth}\) - маса Землі.

Ми також знаємо, що прискорення вільного падіння на цій планеті дорівнює прискоренню вільного падіння на Землі, тобто \(g = g_{\Earth}\), де \(g_{\Earth} = 9.8 \, \text{м/с}^2\).

Замінюємо в формулі відомі значення:

\[g_{\Earth} = \frac{{G \cdot M_{\Earth}}}{{R_{\Earth}^2}}\]

тепер перейдемо до виразу для даної планети:

\[g = \frac{{G \cdot \frac{1}{3} M_{\Earth}}}{{R^2}}\]

Оскільки \(g = g_{\Earth}\), то отримаємо:

\[g_{\Earth} = \frac{{G \cdot \frac{1}{3} M_{\Earth}}}{{R^2}}\]

Знаючи всі величини, можна розв"язати це рівняння відносно \(R\). Для цього спочатку визначимо \(M_{\Earth}\):

\[M_{\Earth} = \text{маса Землі} = 5.97 \times 10^{24} \, \text{кг}\]

Підставимо це значення в попереднє рівняння та розв"яжемо його:

\[g_{\Earth} = \frac{{G \cdot \frac{1}{3} \cdot 5.97 \times 10^{24}}}{{R^2}}\]

Розкривши дужки та спростивши, отримаємо:

\[R^2 = \frac{{G \cdot \frac{1}{3} \cdot 5.97 \times 10^{24}}}{{g_{\Earth}}} \cdot \frac{1}{g_{\Earth}}\]

\[R^2 = \frac{{G \cdot 5.97 \times 10^{24}}}{{3 \cdot g_{\Earth}}}\]

\[R = \sqrt{\frac{{G \cdot 5.97 \times 10^{24}}}{{3 \cdot g_{\Earth}}}}\]

Тепер можемо обчислити значення радіуса цієї планети, підставивши відомі величини до формули.