Який радіус кола, описаного навколо рівностороннього трикутника, якщо радіус кола, вписаного у цей трикутник, дорівнює?

Veselyy_Kloun

5

Для рівностороннього трикутника, вписаного в круг, існує просте співвідношення між радіусами цих двох кол: радіус кола, описаного навколо трикутника, дорівнює удвічі радіусу кола, вписаного у цей трикутник.

Отже, якщо позначити радіус кола, вписаного у рівносторонній трикутник, через \(r\), то радіус кола, описаного навколо цього трикутника, буде \(2r\).

Це випливає з властивостей рівностороннього трикутника та його вписаного кола, а саме з того факту, що кут між дотичною до кола і стороною трикутника у точці дотику завжди дорівнює \(60^\circ\). Протилежний до цього кута, тобто кут на дугу кола, завжди дорівнює \(120^\circ\). В результаті, коли ми побудовуємо розсіяне промені від центру круга до точок трикутника, довжина мала перебігати однакові довжини, або ж "пересікатися" сама з собою.
Тому, ці коли теж повинні мати пропорціональні відношення, зокрема радіуси.

Оскільки це співвідношення є універсальним для всіх рівносторонніх трикутників, воно буде справедливим незалежно від конкретних числових значень радіусів.

Тож, відповідь на задачу: радіус кола, описаного навколо рівностороннього трикутника, завжди дорівнює удвічі радіусу кола, вписаного у цей трикутник.