Який радіус кола, що вписується в ромб, площа якого дорівнює 98 см² і кути ромба мають розмір 150°?

Звездный_Пыл

7

Щоб знайти радіус кола, що вписується в ромб, спочатку нам потрібно з"ясувати, які сторони має цей ромб. Згідно з умовою, площа ромба дорівнює 98 см². Площа ромба може бути обчислена як добуток півсуми довжини діагоналей.

\(S = \frac{1}{2}d_1 \cdot d_2\),

де \(S\) - площа ромба, \(d_1\) і \(d_2\) - довжина перших та других діагоналей відповідно.

Оскільки ромб має кути, які дорівнюють 150°, це означає, що його діагоналі поділяться навпіл. Тобто \(\angle A = 150°\) і \(\angle B = 150°\), де \(A\) і \(B\) - кути ромба.

Розглянемо одну з діагоналей ромба. Розглянемо трикутник \(BCD\) (див. малюнок нижче), де \(BC\) є діагоналлю ромба, а \(D\) є точкою дотику цієї діагоналі з колом. Радіус кола, що вписується, сполучений з цією точкою дотику, буде перпендикулярний діагоналі ромба. Тоді \(BCD\) є прямокутним трикутником.

\[ \begin{array}{cccc}
& & C & \\
& & | & \\
A & ----- & ----- & ----- & B \\
& & | & \\
& & D & \\
\end{array} \]

Так як в ромбі діагоналі поділяються навпіл, знаходження довжини однієї з них дасть нам довжину другої діагоналі.

Позначимо сторону ромба як \(x\). Оскільки ми знаємо, що кути ромба дорівнюють 150°, можемо відповідно позначити довжини сторін ромба: \(AB = x\), \(BC = x\) і \(CD = x\). Таким чином, ми знаємо, що діагоналі поділяться навпіл і можна побачити, що \(AD = BD = \frac{x}{2}\).

Розглянемо прямокутний трикутник \(BCD\). Знаємо, що сторона \(CD\) дорівнює \(x\) і одна із діагоналей ромба є гіпотенузою прямокутного трикутника \(BCD\). Тоді, використовуючи теорему Піфагора, ми можемо знайти другу катет \(d_1 = \frac{x}{2}\).

\[ d_1 = \sqrt{BC^2 - CD^2} = \sqrt{x^2 - x^2} = \sqrt{0} = 0 \]

Тому, перша діагональ ромба \(d_1 = 0\).

Тепер ми можемо використати формулу для площі ромба:

\[ S = \frac{1}{2}d_1 \cdot d_2 \Rightarrow 98 = \frac{1}{2} \cdot 0 \cdot d_2 \Rightarrow 98 = 0 \cdot d_2 \]

Оскільки \(0 \cdot d_2 = 0\), ми отримуємо нульове значення для другої діагоналі ромба:

\[ d_2 = 0 \]

Діагоналі ромба мають нульову довжину. Оскільки радіус кола, що вписується в ромб, є півдовжиною другої діагоналі, то радіус також дорівнює нулю:

\[ \text{Радіус кола, що вписується в ромб} = 0 \]

Отже, відповідь на вашу задачу: радіус кола, що вписується в ромб з площою 98 см² і кутами 150°, дорівнює нулю.