Який радіус планети, маса якої в 9 разів більша за масу Землі, якщо прискорення вільного падіння на цій планеті

Chudesnyy_Korol

57

Для решения данной задачи, нам необходимо использовать законы гравитации и движения свободного падения. Давайте начнем с формулы для расчета силы тяжести:

\[F = \frac{{G \cdot m_1 \cdot m_2}}{{r^2}}\]

где \(F\) - сила тяжести между двумя объектами, \(G\) - гравитационная постоянная, \(m_1\) и \(m_2\) - массы объектов, \(r\) - расстояние между ними.

В данном случае у нас один объект - планета с радиусом \(R\) и массой \(M\), а другой объект - Земля с радиусом \(6400\) и массой \(m\).

Зная, что масса планеты в 9 раз больше, чем масса Земли (\(M = 9 \cdot m\)), и что прискорение свободного падения на планете в 1,4 раза меньше, чем на Земле (\(a = \frac{1}{1.4} \cdot g\)), мы можем использовать эти данные для составления уравнений.

Первое уравнение будет связывать силу тяжести на планете и на Земле:

\[\frac{{G \cdot 9 \cdot m \cdot m}}{{R^2}} = G \cdot m \cdot \frac{{6400}}{{6400^2}}\]

Во втором уравнении учтем пропорциональность прискорений:

\[a = \frac{{G \cdot 9 \cdot m}}{{R^2}} = \frac{1}{1.4} \cdot g\]

Теперь, решим данную систему уравнений относительно неизвестного радиуса \(R\).

Сначала подставим \(a\) из второго уравнения в первое:

\[\frac{{G \cdot 9 \cdot m \cdot m}}{{R^2}} = \frac{1}{1.4} \cdot g \cdot \frac{{6400}}{{6400^2}}\]

Далее, упростим уравнение, удалив дублированные переменные:

\[9 \cdot m^2 = \frac{1}{1.4} \cdot g \cdot \frac{{6400}}{{R^2}}\]

Теперь, решим уравнение относительно \(R^2\), переместив все остальные переменные на правую сторону уравнения:

\[R^2 = \frac{{1.4 \cdot g \cdot 6400}}{{9 \cdot m^2}}\]

Наконец, возьмем квадратный корень от обеих сторон уравнения, чтобы найти значение радиуса \(R\):

\[R = \sqrt{\frac{{1.4 \cdot g \cdot 6400}}{{9 \cdot m^2}}}\]

Таким образом, радиус планеты можно вычислить, подставив известные значения \(g\) (прискорение свободного падения на Земле) и \(m\) (масса Земли) в данное выражение.

Обратите внимание, что значения данных параметров могут варьироваться в зависимости от данной задачи и используемых единиц измерения. Будьте внимательны при подстановке значений в формулу!