Який розмір гіпотенузи і другого катета прямокутного трикутника, якщо один катет дорівнює 30 см, а його проекція

Zolotoy_Ray_3717

16

Давайте решим эту задачу пошагово. Мы имеем прямоугольный треугольник, в котором один катет равен 30 см. Задача состоит в том, чтобы найти размеры гипотенузы и другого катета при условии, что проекция одного катета на гипотенузу известна.

Шаг 1: Построение треугольника
Сначала нарисуем прямоугольный треугольник. Пусть основание треугольника будет вертикальная сторона, а другой катет будет горизонтальной стороной. На этой диаграмме мы будем отмечать известные длины сторон.

\( \begin{array}{cl} & \mathrm{Г} \\ & | \\ & | \\ & | 30 \\ \mathrm{А} & - \mathrm{Б} \\ & | \\ & | \\ & | \\ \end{array} \)

Шаг 2: Обозначим неизвестные значения
Пусть размеры гипотенузы и второго катета обозначаются как \( г \) и \( в \) соответственно.
\( \begin{array}{cl} & \mathrm{Г} \\ & | \\ & | \\ & | 30 \\ \mathrm{А} & - \mathrm{Б} \\ & | \\ & | \\ & | \\ \end{array} \)
Шаг 3: Применение теоремы Пифагора
Мы можем применить теорему Пифагора, чтобы найти гипотенузу треугольника. Теорема Пифагора утверждает, что сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы. В данном случае, мы можем записать это уравнение следующим образом: \( г^2 = 30^2 + в^2 \)
Шаг 4: Решение уравнения
Давайте решим уравнение для гипотенузы. Вычитая \( 30^2 \) из обеих сторон уравнения, мы получим: \( г^2 - 30^2 = в^2 \)
при переносе \( в^2 \) влево \( г^2 - в^2 = 30^2 \)
Шаг 5: Факторизация разности квадратов
Мы можем разложить разность квадратов на две части, используя формулу \( (a - b)(a + b) = a^2 - b^2 \). В данном случае, \( а = г \) и \( b = в \), поэтому: \( (г - в)(г + в) = 30^2 \)
Шаг 6: Нахождение значений
Мы знаем, что \( 30^2 = 900 \), поэтому \( (г - в)(г + в) = 900 \)
Сейчас нам нужно найти два числа, у которых произведение равно 900. Учитывая эти условия, мы видим, что 30 и 3 являются подходящими числами.
Поэтому \( (г - в) = 3 \) и \( (г + в) = 30 \) или
\( (г - в) = 30 \) и \( (г + в) = 3 \)
Шаг 7: Решение системы уравнений
Мы можем решить одну из этих систем уравнений для \( г \).
Взяв \( (г - в) = 3 \) и \( (г + в) = 30 \), мы можем сложить оба уравнения: \( 2г = 33 \), откуда \( г = 16.5 \).
Исходя из этого значения, мы можем найти \( в \). Подставляя \( г = 16.5 \) в \( (г + в) = 30 \), мы получаем \( в = 13.5 \).

Таким образом, размер гипотенузы равен 16.5 см, а размер другого катета равен 13.5 см.