Який розмір площі основи піраміди, якщо площа її бічної поверхні дорівнює 64 см² і всі бокові грані нахилені до площини
Який розмір площі основи піраміди, якщо площа її бічної поверхні дорівнює 64 см² і всі бокові грані нахилені до площини основи під кутом 60°? Зазначте правильну відповідь з варіантів: а) 16 см², б) 64√3 см², в) 32√3 см², г) 32√3 см², д) ___
Звездопад_Фея 48
Для решения этой задачи, нам понадобятся знания о свойствах пирамиды и тригонометрии. Давайте разберемся.Площадь боковой поверхности пирамиды можно вычислить по формуле:
\[П_{б} = \frac{{P_{осн} \cdot c}}{{2}}\],
где \(П_{б}\) - площадь боковой поверхности пирамиды,
\(P_{осн}\) - периметр основания пирамиды,
\(c\) - высота боковой грани пирамиды.
Для начала нам нужно найти высоту боковой грани \(c\). Зная, что все боковые грани находятся под углом 60° к плоскости основания, мы можем рассмотреть прямоугольный треугольник, в котором гипотенуза равна стороне основания, \(a\), а угол между гипотенузой и катетом равен 60°. По теореме косинусов мы можем выразить катет \(c\) следующим образом:
\[c = a \cdot \cos{60°}\].
Помимо этого, нам нужно знать высоту пирамиды, которая проходит через ее вершину до плоскости основания. Обозначим эту высоту буквой \(h\). Теперь мы можем выразить площадь боковой поверхности, используя формулу для площади прямоугольного треугольника:
\[П_{б} = \frac{{a \cdot c}}{2}\].
Из условия задачи нам дано, что \(П_{б} = 64 \, см^2\). Подставим известные значения в уравнение и решим его:
\[64 = \frac{{a \cdot (a \cdot \cos{60°})}}{2}\].
Сократим числовой коэффициент и упростим выражение:
\[128 = a^2 \cdot \cos{60°}\].
Теперь найдем площадь основания пирамиды. Она равна \(P_{осн} = a^2\).
Сопоставим это с вариантами ответов:
а) 16 см²
б) 64√3 см²
в) 32√3 см²
г) 32√3 см²
Мы получили уравнение \(P_{б} = 64 \, см^2\), которое можно переписать в виде \(a^2 \cdot \cos{60°} = 128\). Теперь найдем квадрат от \(a\):
\[a^2 = \frac{128}{\cos{60°}} = \frac{128}{\frac{1}{2}} = 256\].
Извлекая корень из обеих сторон уравнения, получим:
\[a = \sqrt{256} = 16\].
Таким образом, площадь основания пирамиды равна \(a^2 = 16^2 = 256 \, см^2\).
Округлим это значение до ближайшего варианта ответа:
а) 16 см²
б) 64√3 см²
в) 32√3 см²
г) 32√3 см²
Ближайшим значением к 256 см² является вариант ответа "а) 16 см²".
Таким образом, правильный ответ на задачу составляет 16 см².