Який синус найменшого кута трикутника, якщо катети прямокутного трикутника менші за гіпотенузу на 2 см та на

Стрекоза

63

Щоб вирішити цю задачу, спочатку знайдемо значення катетів.

Нехай \( x \) буде довжиною першого катета. Отже, другий катет буде дорівнювати \( x + 2 \) см, а гіпотенуза - \( x + 4 \) см.

За теоремою Піфагора, сума квадратів катетів дорівнює квадрату гіпотенузи. Таким чином, ми можемо записати рівняння:

\[ x^2 + (x + 2)^2 = (x + 4)^2 \]

Розгорнемо дане рівняння:

\[ x^2 + (x^2 + 4x + 4) = x^2 + 8x + 16 \]

Скоротимо це рівняння:

\[ 2x^2 + 4x + 4 = x^2 + 8x + 16 \]

Віднімемо від обох сторін рівняння \( x^2 \) і \( 8x \):

\[ x^2 - 4x + 4 = 16 \]

Тепер вираз знаходиться у квадратній формі. Скоротимо його:

\[ x^2 - 4x - 12 = 0 \]

Тепер ми можемо спробувати розв"язати це квадратне рівняння. Ми можемо спробувати розкласти його на множники. Знайшли два таких числа, що їх сума дорівнює -4, а добуток -12. Ці числа -6 і 2.

Тепер ми можемо записати рівняння у вигляді множення:

\[ (x - 6)(x + 2) = 0 \]

З цього рівняння ми бачимо, що \( x - 6 = 0 \) або \( x + 2 = 0 \). Розв"язавши кожне з цих рівнянь, ми знаходимо два можливі значення для катета \( x \): \( x = 6 \) або \( x = -2 \).

Оскільки в нашій задачі вказані фізичні розміри, ми оберемо додатне значення \( x = 6 \). Тоді довжина катета становитиме 6 см, другий катет буде 8 см (\( 6 + 2 = 8 \)) і гіпотенуза буде 10 см (\( 6 + 4 = 10 \)).

Тепер, коли ми знаходимо значення катетів і гіпотенузи, можемо обчислити синус найменшого кута \( \sin\alpha \). Він обчислюється за формулою \( \sin\alpha = \frac{\text{протилежний катет}}{\text{гіпотенуза}} \).

У нашому випадку найменший кут - прямий кут, тому протилежний катет буде першим катетом, а гіпотенуза - найдовша сторона. Підставляючи відповідні значення в формулу, ми отримуємо:

\[ \sin\alpha = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} \]

Таким чином, синус найменшого кута нашого прямокутного трикутника дорівнює \( \frac{3}{5} \).