Якого діаметру має бути сталевий трос підйомного крану, щоб механічна напруга не перевищувала 60 МПа, при рівномірному

Pugayuschaya_Zmeya_6825

5

Для решения этой задачи нам понадобится использовать формулу для расчета механичной напряженности в тросе.

Механичная напряженность (\(\sigma\)) в тросе определяется как отношение силы, действующей на трос, к площади поперечного сечения троса. Формула для вычисления механичной напряженности выглядит следующим образом:

\(\sigma = \frac{F}{A}\),

где \(\sigma\) - механичная напряженность (в паскалях),
\(F\) - сила, действующая на трос (в ньютонах),
\(A\) - площадь поперечного сечения троса (в квадратных метрах).

Для решения задачи, нам необходимо найти диаметр троса, пользуясь известными данными.

Первым шагом определим силу \(F\), действующую на трос. Масса груза указана и составляет 2 тонны. Чтобы найти силу, мы можем воспользоваться формулой
\[F = mg,\]
где
\(m\) - масса груза (в килограммах),
\(g\) - ускорение свободного падения (приблизительно 9,8 м/с²).

Подставляя известные значения, получаем:
\[F = 2000 \times 9,8 = 19600 \, \text{Н}.\]

Теперь определим площадь поперечного сечения троса. Площадь сечения троса представляет собой круг с диаметром \(d\). Формула для площади круга:
\[A = \frac{\pi d^2}{4}.\]

Для решения задачи, необходимо найти диаметр троса, при котором механичная напряженность не превышает 60 МПа (1 МПа = 1 Мегапаскаль = 1 Млн Паскалей = \(10^6\) Па).

Подставляя эти значения в формулу для механичной напряженности, получаем:
\(\sigma = \frac{19600}{\frac{\pi d^2}{4}}\).

Из условия задачи, механичная напряженность должна быть менее 60 МПа:
\(\sigma < 60 \, \text{МПа}\).

Теперь решим это неравенство относительно диаметра \(d\).

\(\frac{19600}{\frac{\pi d^2}{4}} < 60 \times 10^6\).

Домножим обе стороны неравенства на \(\frac{\pi d^2}{4}\):
\(19600 < 60 \times 10^6 \times \frac{\pi d^2}{4}\).

Упрощая выражение, получаем:
\(78400 < 15 \times 10^6 \pi d^2\).

Теперь выразим диаметр \(d\) через полученное выражение:
\(d^2 > \frac{78400}{15 \times 10^6 \pi}\).

Используя калькулятор, мы можем рассчитать, что правая часть равенства составляет приблизительно 0,001077.

Теперь найдем квадратный корень наших выражений:
\(d > \sqrt{0,001077}\).

Используя калькулятор, мы получаем, что диаметр должен быть больше 0,032 метра или 32 миллиметра.

Таким образом, диаметр стального троса должен быть больше 32 миллиметров (или 0,032 метра), чтобы механическое напряжение не превысило 60 МПа при равномерном перемещении груза массой 2 тонны.