Якої об єм займає ідеальний газ масою 2,5 кг при середній квадратичній швидкості руху молекул, яка складає 400 м/с?

Luna_V_Ocheredi

22

Для решения данной задачи нам понадобятся формулы, связанные с идеальным газом и его свойствами. Одна из таких формул называется формулой эквивалентности и гласит:

\[\frac{3}{2} kT = \frac{1}{2} mv^2 \],

где \(k\) - постоянная Больцмана (\(1.38 \times 10^{-23} \, \text{Дж/К}\)), \(T\) - температура в кельвинах (\(K\)), \(m\) - масса одной молекулы газа (\(кг\)) и \(v\) - средняя квадратичная скорость молекул газа (\(м/с\)).

Нам дана масса газа (\(2,5 \, \text{кг}\)) и средняя квадратичная скорость молекул (\(400 \, \text{м/с}\)). Найдем объем газа, зная эти данные.

Шаг 1: Найдем массу одной молекулы газа. Для этого разделим общую массу газа (2,5 кг) на число молекул. Количество молекул можно найти, используя формулу:

\[N = \frac{m}{M} \],

где \(N\) - число молекул, \(m\) - масса газа (\(2,5 \, \text{кг}\)) и \(M\) - молярная масса газа.

Шаг 2: Выразим температуру \(T\) из формулы эквивалентности:

\[T = \frac{2}{3k} \frac{1}{m} \frac{1}{v^2} mv^2 \].

Шаг 3: Подставим полученные значения массы газа, средней квадратичной скорости и постоянной Больцмана в формулу.

\[ T = \frac{2}{3 \cdot 1.38 \times 10^{-23} \, \text{Дж/К}} \frac{1}{2.5 \, \text{кг}} \frac{1}{(400 \, \text{м/с})^2} \cdot (400 \, \text{м/с})^2 \].

Выполнив все необходимые расчеты, мы найдем значение температуры \(T\). Затем мы можем использовать полученное значение температуры, чтобы найти объем газа с помощью уравнения:

\[V = \frac{m}{\rho} \],

где \(V\) - объем газа, \(m\) - масса газа (\(2,5 \, \text{кг}\)) и \(\rho\) - плотность газа.

Шаг 4: Выразим плотность газа \(\rho\) через уравнение состояния идеального газа:

\[P = \frac{N}{V}kT \Rightarrow \rho = \frac{\frac{m}{M}}{V}kT \].

Шаг 5: Используем значение температуры \(T\) и полученное значение плотности \(\rho\) для нахождения объема газа.

\[ V = \frac{m}{\rho} = \frac{mV}{\frac{m}{M}kT} = \frac{VM}{kT} \Rightarrow V = \frac{2,5 \, \text{кг} \cdot M}{\frac{2,5 \, \text{кг}}{M} \cdot 1.38 \times 10^{-23} \, \text{Дж/К} \cdot T} \],

где \(V\) - объем газа, \(m\) - масса газа (\(2,5 \, \text{кг}\)), \(M\) - молярная масса газа и \(T\) - температура (\(К\)).

Теперь мы можем вычислить объем газа, подставив известные значения в уравнение.

\[\begin{aligned} V &= \frac{2,5 \, \text{кг} \cdot M}{\frac{2,5 \, \text{кг}}{M} \cdot 1.38 \times 10^{-23} \, \text{Дж/К} \cdot T} \\ &= \frac{2,5 \, \text{кг} \cdot M}{\frac{2,5 \, \text{кг}}{M} \cdot 1.38 \times 10^{-23} \, \text{Дж/К} \cdot \left(\frac{2}{3 \cdot 1.38 \times 10^{-23} \, \text{Дж/К}} \frac{1}{2.5 \, \text{кг}} \frac{1}{(400 \, \text{м/с})^2} \cdot (400 \, \text{м/с})^2\right)} \end{aligned} \]

После выполнения всех необходимых вычислений, вы получите значение объема газа.