Якщо дві вершини трикутника і точка перетину його медіан належать певній площині, то третя вершина трикутника

Крошка

31

Для решения этой задачи нам потребуется знание некоторых свойств треугольников и их медиан. Давайте рассмотрим каждый ответ в отдельности и обоснуем его.

А. Никогда не находится на этой плоскости.

Предположим, что третья вершина треугольника никогда не находится на данной плоскости. Пусть этот треугольник имеет вершины A, B, и C, а их медианы пересекаются в точке M. По условию, точка M находится на данной плоскости. Поскольку медианы пересекаются в точке M, они делятся им в отношении 2:1. Значит, часть медианы, соединяющей точку M с вершиной C, равна двум частям медианы, соединяющей точку M с вершиной A.

Мы можем провести медиану треугольника ACM. Если третья вершина треугольника, вершина B, находится на этой плоскости, то медиана треугольника BCM также должна пересекать эту плоскость. Но по построению, эта часть медианы равна двум частям медианы треугольника AC, то есть она должна быть равна медиане треугольника ACM. Это возможно только если точка M лежит на линии связи вершин A и B, то есть третья вершина треугольника, вершина C, также должна лежать на этой линии.

Таким образом, если точка пересечения медиан трикутника принадлежит данной плоскости, то третья вершина также будет лежать на этой плоскости.

Б. Также принадлежит этой плоскости.

Мы уже обосновали этот ответ в предыдущем пункте. Исходя из условия задачи и свойств медиан треугольника, можем сделать вывод, что третья вершина трикутника также принадлежит данной плоскости.

В. Находится вне этой плоскости.

Если бы третья вершина треугольника находилась вне данной плоскости, то медианы этого треугольника бы пересекались в точке, не принадлежащей этой плоскости. Однако, по условию задачи точка пересечения медиан принадлежит данной плоскости, а значит, третья вершина треугольника не может находиться вне этой плоскости.

Таким образом, правильным ответом на данную задачу является ответ Б, третья вершина трикутника также принадлежит данной плоскости при условии, что точка пересечения медиан находится на этой плоскости.