Якщо фокусна відстань двоопуклої скляної лінзи у повітрі становить 20 см, то визначте фокусну відстань цієї лінзи

Мила

56

Перш за все, нам потрібно використовувати формулу тонкого сполучення лінз. Ця формула говорить нам, що:
\[\frac{1}{f} = (n - 1)\left(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}\right),\]
де \(f\) - фокусна відстань, \(n\) - абсолютний показник заломлення, \(R_1\) - радіус кривизни першої поверхні лінзи, \(R_2\) - радіус кривизни другої поверхні лінзи.

В нашому випадку, фокусна відстань у повітрі дорівнює 20 см, абсолютний показник заломлення скла дорівнює 1,5, а води - 1,33.

Для знаходження фокусної відстані зануреної лінзи, замінимо значення \(n\) на показник заломлення води \(n_{\text{вода}}\), \(f\) на \(f_{\text{вода}}\) і вирішимо рівняння щодо \(f_{\text{вода}}\):

\[\frac{1}{f_{\text{вода}}} = (n_{\text{вода}} - 1)\left(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}\right).\]

Зазначено, що радіус кривизни другої поверхні лінзи - це протилежне за знаком число радіуса кривизни першої поверхні. Тому \(R_2 = -R_1\).

Підставимо це значення і вирішимо рівняння:

\[\frac{1}{f_{\text{вода}}} = (n_{\text{вода}} - 1)\left(\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_1}\right) = (n_{\text{вода}} - 1)\left(\frac{2}{R_1}\right).\]

Розкривши дужки та спрощуючи, отримаємо:

\[\frac{1}{f_{\text{вода}}} = \frac{2(n_{\text{вода}} - 1)}{R_1}.\]

Тепер замінимо значення \(R_1 = \frac{1}{2f_{\text{повітря}}}\) для повітряної лінзи (оскільки радіус кривизни можна виразити через фокусну відстань), де \(f_{\text{повітря}}\) - фокусна відстань у повітрі:

\[\frac{1}{f_{\text{вода}}} = \frac{2(n_{\text{вода}} - 1)}{\frac{1}{2f_{\text{повітря}}}}.\]

Проведемо спрощення і знайдемо \(f_{\text{вода}}\):

\[\frac{1}{f_{\text{вода}}} = \frac{4(n_{\text{вода}} - 1)}{f_{\text{повітря}}}.\]

Переставимо місцями чисельник і знаменник, отримаємо:

\[f_{\text{вода}} = \frac{f_{\text{повітря}}}{4(n_{\text{вода}} - 1)}.\]

Замінюємо відомі значення та обчислюємо:

\[f_{\text{вода}} = \frac{0,2 \, \text{м}}{4(1,33 - 1)} \approx \frac{0,2 \, \text{м}}{4(0,33)} \approx \frac{0,2 \, \text{м}}{1,32} \approx 0,1515 \, \text{м}.\]

Таким чином, фокусна відстань зануреної лінзи води становить 0,1515 метра (або близько 15,15 см).